Вопросы, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Почему формула производной показательной функции $y = a^x$ имеет частный случай? Ответ обоснуйте.

2. Какое свойство логарифма используется при выведении формулы производной логарифмической функции?

1. Почему формула производной показательной функции y = a^x имеет частный случай? Ответ обоснуйте.

Общая формула для производной показательной функции $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$) имеет вид:

$y' = (a^x)' = a^x \ln a$

Эта формула имеет важный частный случай, когда основание степени $a$ равно числу Эйлера $e$ ($e \approx 2.718...$). В этом случае показательная функция принимает вид $y = e^x$.

Подставим $a = e$ в общую формулу производной:

$y' = (e^x)' = e^x \ln e$

По определению натурального логарифма ($\ln$), это логарифм по основанию $e$. Следовательно, $\ln e = \log_e e = 1$.

Таким образом, формула производной для $y = e^x$ упрощается:

$y' = e^x \cdot 1 = e^x$

Это уникальное свойство, когда производная функции равна самой функции, делает функцию $y = e^x$ (экспоненту) особенной. Она играет фундаментальную роль в математическом анализе, дифференциальных уравнениях и многих прикладных науках. Именно поэтому ее рассматривают как частный, но чрезвычайно важный случай.

Ответ: Частный случай возникает при основании $a=e$, так как натуральный логарифм $\ln e = 1$, и формула производной $(a^x)' = a^x \ln a$ упрощается до $(e^x)' = e^x$. Это означает, что функция $e^x$ равна своей производной.

2. Какое свойство логарифма используется при выведении формулы производной логарифмической функции?

При выведении формулы производной логарифмической функции $y = \log_a x$ (где $a > 0, a \neq 1$) ключевым свойством логарифма, которое используется, является формула перехода к новому основанию.

Эта формула позволяет выразить логарифм по любому основанию $a$ через логарифм по другому основанию $b$. Чаще всего для целей дифференцирования переходят к основанию $e$, то есть к натуральному логарифму:

$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Используя это свойство, мы можем переписать исходную функцию:

$y = \frac{\ln x}{\ln a}$

Теперь найдем производную. Заметим, что $\ln a$ является константой, поэтому мы можем вынести множитель $\frac{1}{\ln a}$ за знак производной:

$y' = (\log_a x)' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)'$

Так как производная натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ является известной, мы получаем конечную формулу:

$y' = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln a}$

Таким образом, использование формулы перехода к новому основанию сводит задачу нахождения производной логарифма с произвольным основанием к уже известной задаче нахождения производной натурального логарифма.

Ответ: При выведении формулы производной логарифмической функции используется свойство перехода к новому основанию логарифма: $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$.