Номер 197, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите производные функции $y = f(x)$ (197–199):

197.1) $f(x) = 3e^x + 3$;

2) $f(x) = 5x + 3e^x$;

3) $f(x) = 5 - \frac{1}{2}e^x$;

4) $f(x) = 5 \cdot e^{-x}$;

1) f(x) = 3e^x + 3;
Решение:
Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования суммы и табличные производные.
Производная суммы функций равна сумме их производных: $(u+v)' = u' + v'$.
$f'(x) = (3e^x + 3)' = (3e^x)' + (3)'$.
Используем правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, производную экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$ и производную константы $(c)' = 0$.
$(3e^x)' = 3 \cdot (e^x)' = 3e^x$.
$(3)' = 0$.
Следовательно, производная функции равна:
$f'(x) = 3e^x + 0 = 3e^x$.
Ответ: $3e^x$.

2) f(x) = 5x + 3e^x;
Решение:
Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования суммы и табличные производные.
$f'(x) = (5x + 3e^x)' = (5x)' + (3e^x)'$.
Находим производную каждого слагаемого:
Производная степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. Для $5x$ производная будет $(5x)' = 5 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 5$.
Производная $3e^x$ равна $3e^x$, как было показано в предыдущем пункте.
Складываем полученные производные:
$f'(x) = 5 + 3e^x$.
Ответ: $5 + 3e^x$.

3) f(x) = 5 - ¹/₂e^x;
Решение:
Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$.
$f'(x) = (5 - \frac{1}{2}e^x)' = (5)' - (\frac{1}{2}e^x)'$.
Производная константы 5 равна нулю: $(5)' = 0$.
Находим производную второго слагаемого, вынося константу $\frac{1}{2}$ за знак производной:
$(\frac{1}{2}e^x)' = \frac{1}{2} \cdot (e^x)' = \frac{1}{2}e^x$.
Таким образом, итоговая производная:
$f'(x) = 0 - \frac{1}{2}e^x = -\frac{1}{2}e^x$.
Ответ: $-\frac{1}{2}e^x$.

4) f(x) = 5 · e^-x.
Решение:
Для нахождения производной данной функции используем правило вынесения константы и правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).
$f'(x) = (5 \cdot e^{-x})' = 5 \cdot (e^{-x})'$.
Для нахождения производной $e^{-x}$ применяем правило $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
В нашем случае $u(x) = -x$, и производная $u'(x) = (-x)' = -1$.
Тогда $(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.
Подставляем это в исходное выражение для производной:
$f'(x) = 5 \cdot (-e^{-x}) = -5e^{-x}$.
Ответ: $-5e^{-x}$.