Номер 190, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

190. 1) $\log_{\sqrt{7}} 8$ и $1$;

2) $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 10$ и $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 8$;

3) $\log_{\pi} \frac{3}{16}$ и $\log_{\pi} \frac{1}{16}$;

4) $\log_{0,9} \sqrt{3}$ и $\log_{0,9} 2$.

1) Сравнить $\log_{\sqrt{7}} 8$ и $1$.

Решение

Для сравнения представим число $1$ в виде логарифма с основанием $\sqrt{7}$. По определению логарифма, $1 = \log_{\sqrt{7}} (\sqrt{7})$.

Теперь задача сводится к сравнению двух логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{\sqrt{7}} 8$ и $\log_{\sqrt{7}} \sqrt{7}$.

Основание логарифма $a = \sqrt{7}$. Так как $4 < 7 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, что означает $2 < \sqrt{7} < 3$. Следовательно, основание $a = \sqrt{7} > 1$.

Логарифмическая функция $y = \log_a(x)$ с основанием $a > 1$ является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1 > x_2 > 0$ выполняется неравенство $\log_a(x_1) > \log_a(x_2)$.

Сравним аргументы логарифмов: $8$ и $\sqrt{7}$. Возведем оба числа в квадрат: $8^2 = 64$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $64 > 7$, то $8 > \sqrt{7}$.

Поскольку функция возрастающая и $8 > \sqrt{7}$, то $\log_{\sqrt{7}} 8 > \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7}$.

Следовательно, $\log_{\sqrt{7}} 8 > 1$.

Ответ: $\log_{\sqrt{7}} 8 > 1$.

2) Сравнить $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 10$ и $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 8$.

Решение

Логарифмы имеют одинаковое основание $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Оценим основание. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2} > 1$, и, следовательно, $0 < \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$.

Логарифмическая функция $y = \log_a(x)$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей. Это означает, что для любых $x_1 > x_2 > 0$ выполняется неравенство $\log_a(x_1) < \log_a(x_2)$.

Сравним аргументы логарифмов: $10$ и $8$. Очевидно, что $10 > 8$.

Поскольку функция убывающая и $10 > 8$, то $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 10 < \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 8$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 10 < \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 8$.

3) Сравнить $\log_{\pi} \frac{3}{16}$ и $\log_{\pi} \frac{1}{16}$.

Решение

Логарифмы имеют одинаковое основание $a = \pi$.

Значение числа $\pi \approx 3.14159$, поэтому основание $a = \pi > 1$.

Логарифмическая функция $y = \log_a(x)$ с основанием $a > 1$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.

Сравним аргументы логарифмов: $\frac{3}{16}$ и $\frac{1}{16}$. Так как у дробей одинаковые знаменатели, сравним их числители: $3 > 1$. Следовательно, $\frac{3}{16} > \frac{1}{16}$.

Поскольку функция возрастающая и $\frac{3}{16} > \frac{1}{16}$, то $\log_{\pi} \frac{3}{16} > \log_{\pi} \frac{1}{16}$.

Ответ: $\log_{\pi} \frac{3}{16} > \log_{\pi} \frac{1}{16}$.

4) Сравнить $\log_{0.9} \sqrt{3}$ и $\log_{0.9} 2$.

Решение

Логарифмы имеют одинаковое основание $a = 0.9$.

Основание $a = 0.9$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

Логарифмическая функция $y = \log_a(x)$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма.

Сравним аргументы логарифмов: $\sqrt{3}$ и $2$. Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$. Так как $3 < 4$, то $\sqrt{3} < 2$.

Поскольку функция убывающая и $\sqrt{3} < 2$, то $\log_{0.9} \sqrt{3} > \log_{0.9} 2$.

Ответ: $\log_{0.9} \sqrt{3} > \log_{0.9} 2$.