Номер 189, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Сравните выражения (189–190):

189.1) $ \log_{4} 5,8 $ и $ \log_{4} 8,1; $

2) $ \log_{\frac{1}{5}} 0,25 $ и $ \log_{\frac{1}{5}} 0,36; $

3) $ \log_{6,5} \frac{5}{6} $ и $ \log_{6,5} \frac{1}{6}; $

4) $ \log_{\sqrt{3}} 5 $ и $ \log_{\sqrt{3}} 4. $

Для сравнения значений логарифмов с одинаковым основанием используется свойство монотонности логарифмической функции $ y = \log_a x $:

• Если основание $ a > 1 $, функция является возрастающей, то есть большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.
• Если $ 0 < a < 1 $, функция является убывающей, то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма.

1) Сравним $ \log_4 5,8 $ и $ \log_4 8,1 $.
Основание логарифмов $ a = 4 $. Так как $ 4 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_4 x $ является возрастающей. Сравним аргументы: $ 5,8 < 8,1 $. Поскольку функция возрастающая, то меньшему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Следовательно, $ \log_4 5,8 < \log_4 8,1 $.

Ответ: $ \log_4 5,8 < \log_4 8,1 $.

2) Сравним $ \log_{\frac{1}{5}} 0,25 $ и $ \log_{\frac{1}{5}} 0,36 $.
Основание логарифмов $ a = \frac{1}{5} $. Так как $ 0 < \frac{1}{5} < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{\frac{1}{5}} x $ является убывающей. Сравним аргументы: $ 0,25 < 0,36 $. Поскольку функция убывающая, то большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Следовательно, $ \log_{\frac{1}{5}} 0,25 > \log_{\frac{1}{5}} 0,36 $.

Ответ: $ \log_{\frac{1}{5}} 0,25 > \log_{\frac{1}{5}} 0,36 $.

3) Сравним $ \log_{6,5} \frac{5}{6} $ и $ \log_{6,5} \frac{1}{6} $.
Основание логарифмов $ a = 6,5 $. Так как $ 6,5 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{6,5} x $ является возрастающей. Сравним аргументы: $ \frac{5}{6} > \frac{1}{6} $. Поскольку функция возрастающая, то большему аргументу соответствует большее значение логарифма. Следовательно, $ \log_{6,5} \frac{5}{6} > \log_{6,5} \frac{1}{6} $.

Ответ: $ \log_{6,5} \frac{5}{6} > \log_{6,5} \frac{1}{6} $.

4) Сравним $ \log_{\sqrt{3}} 5 $ и $ \log_{\sqrt{3}} 4 $.
Основание логарифмов $ a = \sqrt{3} $. Так как $ \sqrt{3} \approx 1,732 $, то $ a > 1 $, и логарифмическая функция $ y = \log_{\sqrt{3}} x $ является возрастающей. Сравним аргументы: $ 5 > 4 $. Поскольку функция возрастающая, то большему аргументу соответствует большее значение логарифма. Следовательно, $ \log_{\sqrt{3}} 5 > \log_{\sqrt{3}} 4 $.

Ответ: $ \log_{\sqrt{3}} 5 > \log_{\sqrt{3}} 4 $.