Номер 187, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

187.1) $g(x) = \log_{0.12} (7 + 6x - x^2)$;

2) $g(x) = \log_{\sqrt{3}} \frac{x+8}{2x-7}$;

3) $g(x) = \lg \frac{3x+15}{4-x}$;

4) $g(x) = \ln (x^2 + x - 12)$.

188. Перенесем свойства функции

1) Для нахождения области определения функции $g(x) = \log_{0,12}(7 + 6x - x^2)$ необходимо, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля.

Решение

Составим и решим неравенство:

$7 + 6x - x^2 > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 - 6x - 7 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 6$

$x_1 \cdot x_2 = -7$

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 7$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 6x - 7$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 6x - 7 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-1; 7)$.

Ответ: $(-1; 7)$.

2) Для нахождения области определения функции $g(x) = \log_{\sqrt{3}}\frac{x+8}{2x-7}$ необходимо, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля.

Решение

Составим и решим неравенство:

$\frac{x+8}{2x-7} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$.

Нуль знаменателя: $2x - 7 = 0 \Rightarrow x = 3,5$.

Отметим точки -8 и 3,5 на числовой прямой и определим знаки выражения на получившихся интервалах:

Неравенство выполняется там, где стоит знак «+». Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; -8) \cup (3,5; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -8) \cup (3,5; +\infty)$.

3) Для нахождения области определения функции $g(x) = \lg\frac{3x+15}{4-x}$ необходимо, чтобы аргумент логарифма (десятичного) был строго больше нуля.

Решение

Составим и решим неравенство:

$\frac{3x+15}{4-x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $3x + 15 = 0 \Rightarrow 3x = -15 \Rightarrow x = -5$.

Нуль знаменателя: $4 - x = 0 \Rightarrow x = 4$.

Отметим точки -5 и 4 на числовой прямой и определим знаки выражения на получившихся интервалах. Обратим внимание, что коэффициент при $x$ в знаменателе отрицательный, поэтому знаки будут чередоваться как «-», «+», «-».

Неравенство выполняется на интервале, где стоит знак «+». Таким образом, область определения функции: $x \in (-5; 4)$.

Ответ: $(-5; 4)$.

4) Для нахождения области определения функции $g(x) = \ln(x^2 + x - 12)$ необходимо, чтобы аргумент натурального логарифма был строго больше нуля.

Решение

Составим и решим неравенство:

$x^2 + x - 12 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -12$

Корни уравнения: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 12$ направлены вверх, неравенство $x^2 + x - 12 > 0$ выполняется на интервалах вне корней.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$.