Номер 181, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

$\frac{3}{\log_3 3} - \frac{2}{\log_8 4} - \frac{1}{\log_{27} 81};$

2) $\frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 3.6 + 1};$

3) $2^{2-\log_2 5} + \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 5};$

4) $3^{2+\log_3 4} + \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 4}.$

1) Вычислим значение выражения $\frac{3}{\log_3 3} - \frac{2}{\log_8 4} - \frac{1}{\log_{27} 81}$.
Для упрощения выражения воспользуемся свойством логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.
$\frac{3}{\log_3 3} - \frac{2}{\log_8 4} - \frac{1}{\log_{27} 81} = 3\log_3 3 - 2\log_4 8 - 1\log_{81} 27$.
Теперь вычислим значение каждого члена по отдельности, используя свойство $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$.
Первый член: $3\log_3 3 = 3 \cdot 1 = 3$.
Второй член: $2\log_4 8 = 2\log_{2^2} 2^3 = 2 \cdot \frac{3}{2}\log_2 2 = 3 \cdot 1 = 3$.
Третий член: $\log_{81} 27 = \log_{3^4} 3^3 = \frac{3}{4}\log_3 3 = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}$.
Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:
$3 - 3 - \frac{3}{4} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}$.

2) Вычислим значение выражения $\frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 3,6 + 1}$.
Сначала упростим числитель, используя свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$:
$\lg 2 + \lg 3 = \lg(2 \cdot 3) = \lg 6$.
Теперь упростим знаменатель, зная, что $1 = \lg 10$ (десятичный логарифм от 10):
$\lg 3,6 + 1 = \lg 3,6 + \lg 10 = \lg(3,6 \cdot 10) = \lg 36$.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{\lg 6}{\lg 36}$.
Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$:
$\frac{\lg 6}{\lg 36} = \log_{36} 6$.
Чтобы найти значение $\log_{36} 6$, решим уравнение $36^x = 6$.
Так как $36 = 6^2$, то $(6^2)^x = 6^1$, что равносильно $6^{2x} = 6^1$.
Отсюда $2x=1$, значит $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Вычислим значение выражения $2^{2-\log_2 5} + \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 5}$.
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $2^{2-\log_2 5}$. Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$2^{2-\log_2 5} = \frac{2^2}{2^{\log_2 5}} = \frac{4}{5}$.
Второе слагаемое: $\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 5}$. Представим $\frac{1}{2}$ как $2^{-1}$:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 5} = (2^{-1})^{\log_2 5} = 2^{-1 \cdot \log_2 5} = 2^{-\log_2 5}$.
Используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:
$2^{\log_2 5^{-1}} = 2^{\log_2 \frac{1}{5}} = \frac{1}{5}$.
Теперь сложим результаты:
$\frac{4}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1$.
Ответ: $1$.

4) Вычислим значение выражения $3^{2+\log_3 4} + \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 4}$.
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $3^{2+\log_3 4}$. Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$3^{2+\log_3 4} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 4} = 9 \cdot 4 = 36$.
Второе слагаемое: $\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 4}$. Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 4} = (3^{-1})^{\log_3 4} = 3^{-1 \cdot \log_3 4} = 3^{-\log_3 4}$.
Используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:
$3^{\log_3 4^{-1}} = 3^{\log_3 \frac{1}{4}} = \frac{1}{4}$.
Теперь сложим результаты:
$36 + \frac{1}{4} = \frac{144}{4} + \frac{1}{4} = \frac{145}{4}$.
Ответ: $\frac{145}{4}$.