Номер 182, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

182. Решите уравнение:

1) $ \log_x 81 = 4 $;

2) $ \log_x \frac{1}{16} = 2 $;

3) $ \log_x \frac{1}{27} = -3 $;

4) $ \log_x 36 = 2 $.

1) $log_{x} 81 = 4$

Дано:

Уравнение $log_{x} 81 = 4$.

Найти:

Значение $x$.

Решение:

По определению логарифма, уравнение $log_{a} b = c$ равносильно уравнению $a^c = b$.
Применим это определение к данному уравнению, где $a=x$, $b=81$, $c=4$:
$x^4 = 81$.
Область определения логарифма накладывает на основание $x$ следующие ограничения: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Решим степенное уравнение $x^4 = 81$.
Число 81 можно представить как $3^4$.
Тогда уравнение примет вид $x^4 = 3^4$.
Так как показатель степени (4) — четное число, это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Проверим найденные корни на соответствие области определения.
Корень $x = 3$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.
Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним.
Следовательно, решением уравнения является $x=3$.

Ответ: 3.

2) $log_{x} \frac{1}{16} = 2$

Дано:

Уравнение $log_{x} \frac{1}{16} = 2$.

Найти:

Значение $x$.

Решение:

По определению логарифма ($log_{a} b = c \Leftrightarrow a^c = b$), преобразуем уравнение:
$x^2 = \frac{1}{16}$.
Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Решим уравнение $x^2 = \frac{1}{16}$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два корня: $x_1 = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{4}$.
Проверим корни на соответствие области определения.
Корень $x = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.
Корень $x = -\frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию $x > 0$.
Таким образом, решением является $x = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) $log_{x} \frac{1}{27} = -3$

Дано:

Уравнение $log_{x} \frac{1}{27} = -3$.

Найти:

Значение $x$.

Решение:

Используя определение логарифма $log_{a} b = c \Leftrightarrow a^c = b$, получаем:
$x^{-3} = \frac{1}{27}$.
Область определения основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$\frac{1}{x^3} = \frac{1}{27}$.
Отсюда следует, что $x^3 = 27$.
Так как $27 = 3^3$, уравнение принимает вид $x^3 = 3^3$.
Извлекая кубический корень, находим $x=3$.
Проверяем корень: $x=3$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.
Следовательно, $x=3$ является решением.

Ответ: 3.

4) $log_{x} 36 = 2$

Дано:

Уравнение $log_{x} 36 = 2$.

Найти:

Значение $x$.

Решение:

Согласно определению логарифма ($log_{a} b = c \Leftrightarrow a^c = b$), исходное уравнение эквивалентно следующему:
$x^2 = 36$.
Ограничения на основание логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Решаем уравнение $x^2 = 36$.
Уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{36} = 6$ и $x_2 = -\sqrt{36} = -6$.
Проверим корни, учитывая область определения.
Корень $x = 6$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.
Корень $x = -6$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому он является посторонним.
Решением уравнения является $x=6$.

Ответ: 6.