Номер 177, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

177. 1) $\left(\frac{\lg 8+\lg 18}{2 \lg 2+\lg 3}\right)^{3}$;

2) $\left(\frac{\log _{3} 16}{\log _{3} 4}\right)^{-1}$;

3) $(\log _{2} 13-\log _{2} 52)^{5}$;

4) $(\log _{0,3} 9-2 \log _{0,3} 10)^{4}$.

1)

Для решения воспользуемся свойствами логарифмов: сумма логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c) $ и внесение коэффициента под знак логарифма $ k \cdot \log_a b = \log_a(b^k) $. Запись $ \lg x $ означает десятичный логарифм $ \log_{10} x $.

Сначала преобразуем числитель дроби в скобках:

$ \lg 8 + \lg 18 = \lg(8 \cdot 18) = \lg(144) $.

Так как $ 144 = 12^2 $, то $ \lg(144) = \lg(12^2) = 2 \cdot \lg 12 $.

Теперь преобразуем знаменатель:

$ 2 \cdot \lg 2 + \lg 3 = \lg(2^2) + \lg 3 = \lg 4 + \lg 3 = \lg(4 \cdot 3) = \lg 12 $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

$ \left(\frac{2 \cdot \lg 12}{\lg 12}\right)^3 $.

Сокращаем $ \lg 12 $ в числителе и знаменателе, получаем:

$ (2)^3 = 8 $.

Ответ: 8.

2)

Для упрощения выражения в скобках воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $ \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a $.

Применим эту формулу к дроби в скобках:

$ \frac{\log_3 16}{\log_3 4} = \log_4 16 $.

Так как $ 4^2 = 16 $, то $ \log_4 16 = 2 $.

Теперь возведем полученное значение в степень -1:

$ (2)^{-1} = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

3)

Для решения воспользуемся свойством разности логарифмов: $ \log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) $.

Применим это свойство к выражению в скобках:

$ \log_2 13 - \log_2 52 = \log_2\left(\frac{13}{52}\right) $.

Сократим дробь: $ \frac{13}{52} = \frac{1}{4} $.

Таким образом, выражение в скобках равно $ \log_2\left(\frac{1}{4}\right) $. Так как $ 2^{-2} = \frac{1}{4} $, то $ \log_2\left(\frac{1}{4}\right) = -2 $.

Теперь возведем полученное значение в степень 5:

$ (-2)^5 = -32 $.

Ответ: -32.

4)

Для решения воспользуемся свойствами логарифмов: $ k \cdot \log_a b = \log_a(b^k) $ и $ \log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) $.

Сначала преобразуем второе слагаемое в скобках:

$ 2 \cdot \log_{0,3} 10 = \log_{0,3}(10^2) = \log_{0,3} 100 $.

Теперь выражение в скобках имеет вид:

$ \log_{0,3} 9 - \log_{0,3} 100 $.

Применим свойство разности логарифмов:

$ \log_{0,3}\left(\frac{9}{100}\right) = \log_{0,3}(0,09) $.

Так как $ (0,3)^2 = 0,09 $, то $ \log_{0,3}(0,09) = 2 $.

Теперь возведем полученное значение в степень 4:

$ (2)^4 = 16 $.

Ответ: 16.