Номер 171, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

171.

1) $ \log_{0.2} 0.008 = 3; $

2) $ \log_{0.3} 0.09 = 2; $

3) $ \log_4 \frac{1}{64} = -3; $

4) $ \lg 10^3 = 3. $

1) $\log_{0,2} 0,008 = 3$

Для проверки верности данного равенства воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ равносильно $b^c = a$.

В нашем случае основание логарифма $b = 0,2$, аргумент $a = 0,008$, а значение логарифма $c = 3$.

Подставим эти значения в показательное равенство: $0,2^3 = 0,008$.

Проверим вычисление:

$0,2^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \cdot 0,2 = 0,008$.

Поскольку равенство $0,2^3 = 0,008$ выполняется, исходное логарифмическое равенство является верным.

Ответ: Равенство верное.

2) $\log_{0,3} 0,09 = 2$

Согласно определению логарифма, равенство $\log_{0,3} 0,09 = 2$ эквивалентно равенству $0,3^2 = 0,09$.

Проверим, возведя 0,3 в квадрат:

$0,3^2 = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09$.

Равенство $0,3^2 = 0,09$ верно, следовательно, исходное логарифмическое равенство также верно.

Ответ: Равенство верное.

3) $\log_{4} \frac{1}{64} = -3$

Используя определение логарифма, перепишем данное равенство в виде показательного: $4^{-3} = \frac{1}{64}$.

Проверим это равенство, используя свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$4^{-3} = \frac{1}{4^3}$.

Вычислим знаменатель: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Таким образом, $4^{-3} = \frac{1}{64}$.

Поскольку показательное равенство верно, то и исходное логарифмическое равенство верно.

Ответ: Равенство верное.

4) $\lg 10^3 = 3$

Десятичный логарифм $\lg x$ — это логарифм по основанию 10, то есть $\lg x = \log_{10} x$.

Следовательно, данное равенство можно записать как $\log_{10} 10^3 = 3$.

По свойству логарифма $\log_b b^c = c$, мы видим, что левая часть равна 3.

$\log_{10} 10^3 = 3$.

Получаем $3=3$, что является верным равенством.

Также можно проверить по определению логарифма: $\log_{10} 10^3 = 3$ эквивалентно $10^3 = 10^3$, что очевидно верно.

Ответ: Равенство верное.