Номер 167, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

167.1) $27^{\frac{2}{3}} = 9$;

2) $32^{\frac{3}{5}} = 8$;

3) $81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27}$;

4) $125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{25}$.

1) Проверим истинность равенства $27^{\frac{2}{3}} = 9$.

Чтобы вычислить левую часть, воспользуемся свойством степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. Это свойство позволяет сначала извлечь корень из основания, а затем возвести результат в степень.

Применим это свойство к выражению $27^{\frac{2}{3}}$:

$27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2$

Найдем кубический корень из 27. Так как $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$3^2 = 9$

Таким образом, левая часть равенства равна 9, что совпадает с правой частью. Равенство $9 = 9$ является верным.

Ответ: Равенство верное.

2) Проверим истинность равенства $32^{\frac{3}{5}} = 8$.

Воспользуемся тем же свойством степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.

Применим его к левой части равенства:

$32^{\frac{3}{5}} = (\sqrt[5]{32})^3$

Найдем корень пятой степени из 32. Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.

Теперь возведем полученный результат в куб:

$2^3 = 8$

Левая часть равна 8, что совпадает с правой частью. Равенство $8 = 8$ является верным.

Ответ: Равенство верное.

3) Проверим истинность равенства $81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27}$.

Сначала используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

$81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{81^{\frac{3}{4}}}$

Теперь вычислим знаменатель $81^{\frac{3}{4}}$, используя свойство $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.

$81^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3$

Найдем корень четвертой степени из 81. Так как $3^4 = 81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$.

Возведем результат в куб:

$3^3 = 27$

Таким образом, $81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27}$. Равенство $\frac{1}{27} = \frac{1}{27}$ является верным.

Ответ: Равенство верное.

4) Проверим истинность равенства $125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{25}$.

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

$125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{125^{\frac{2}{3}}}$

Теперь вычислим знаменатель $125^{\frac{2}{3}}$, используя свойство $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.

$125^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{125})^2$

Найдем кубический корень из 125. Так как $5^3 = 125$, то $\sqrt[3]{125} = 5$.

Возведем результат в квадрат:

$5^2 = 25$

Таким образом, $125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{25}$. Равенство $\frac{1}{25} = \frac{1}{25}$ является верным.

Ответ: Равенство верное.