Страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Существует ли логарифм отрицательного числа? Ответ обоснуйте.

2. В каких случаях применяется свойство перехода к новому основанию?

3. Учитывается ли основание логарифма при потенцировании? Ответ обоснуйте.

1. В области действительных чисел логарифм отрицательного числа не существует. Это следует непосредственно из определения логарифма.

Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется такое число $c$, что при возведении основания $a$ в степень $c$ получается число $b$. Математически это записывается так: $c = \log_a b \Leftrightarrow a^c = b$.

По определению, основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0, a \neq 1$). Когда положительное число $a$ возводится в любую действительную степень $c$, результат $a^c$ всегда будет положительным числом. Следовательно, число $b$, стоящее под знаком логарифма (аргумент логарифма), также должно быть строго положительным ($b > 0$).

Таким образом, не существует такого действительного числа $c$, которое было бы логарифмом отрицательного числа, так как равенство $a^c = b$ не может быть выполнено для положительного $a$ и отрицательного $b$.

Ответ: Нет, в области действительных чисел логарифм отрицательного числа не существует, так как по определению основание логарифма — положительное число, а любое положительное число в любой действительной степени также является положительным числом.

2. Свойство перехода к новому основанию, выраженное формулой $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ (где $c$ — новое основание, $c > 0, c \neq 1$), применяется в нескольких ключевых случаях:

1. Для вычислений на калькуляторе. Большинство инженерных калькуляторов имеют клавиши только для натурального логарифма (по основанию $e$, обозначается $\ln$) и десятичного логарифма (по основанию 10, обозначается $\lg$ или $\log$). Чтобы вычислить логарифм по другому основанию, например $\log_5 125$, его нужно привести к основанию $e$ или 10. Например: $\log_5 125 = \frac{\ln 125}{\ln 5}$ или $\log_5 125 = \frac{\lg 125}{\lg 5}$.

2. Для упрощения логарифмических выражений. Если в выражении содержатся логарифмы с разными основаниями, их приведение к одному основанию часто позволяет значительно упростить выражение. Например, для вычисления $\log_2 3 \cdot \log_3 16$:$\log_2 3 \cdot \log_3 16 = \log_2 3 \cdot \frac{\log_2 16}{\log_2 3} = \log_2 16 = 4$.

3. Для решения логарифмических уравнений и неравенств. Если в уравнении или неравенстве есть логарифмы с разными основаниями, их необходимо привести к одному основанию, чтобы можно было применить свойства логарифмов и решить задачу. Например, в уравнении $\log_3 x + \log_9 x = 6$ можно перейти к основанию 3:$\log_3 x + \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = 6 \Rightarrow \log_3 x + \frac{\log_3 x}{2} = 6 \Rightarrow \frac{3}{2}\log_3 x = 6 \Rightarrow \log_3 x = 4 \Rightarrow x=81$.

Ответ: Свойство перехода к новому основанию применяется для вычисления значений логарифмов на калькуляторе, для упрощения выражений, содержащих логарифмы с разными основаниями, а также для решения логарифмических уравнений и неравенств.

3. Да, основание логарифма обязательно учитывается при потенцировании.

Потенцирование — это операция, обратная логарифмированию. Она заключается в нахождении числа по известному значению его логарифма. Если дано логарифмическое равенство $\log_a b = c$, то операция потенцирования — это нахождение числа $b$.

Исходя из определения логарифма, равенство $\log_a b = c$ эквивалентно равенству $b = a^c$. Как видно из этой формулы, для нахождения числа $b$ необходимо знать не только значение логарифма $c$, но и его основание $a$. Значение $b$ напрямую зависит от основания $a$.

Рассмотрим пример. Пусть известно, что логарифм некоторого числа $x$ равен 2:

• Если это десятичный логарифм ($\log_{10} x = 2$), то $x = 10^2 = 100$.
• Если это натуральный логарифм ($\ln x = 2$), то $x = e^2 \approx 7.389$.
• Если это логарифм по основанию 2 ($\log_2 x = 2$), то $x = 2^2 = 4$.

Как показывают примеры, результат потенцирования кардинально меняется в зависимости от основания логарифма.

Ответ: Да, основание логарифма обязательно учитывается при потенцировании, поскольку эта операция заключается в возведении основания логарифма в степень, равную значению логарифма ($b = a^c$), и результат напрямую зависит от значения основания $a$.

Выразите равенства через логарифмы (165–167):

165.1) $3^3 = 27$;

2) $2^5 = 32$;

3) $3^{-2} = \frac{1}{9}$;

4) $2^{-3} = \frac{1}{8}$.

Чтобы выразить показательное равенство вида $a^x = b$ через логарифм, используется определение логарифма. Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется такой показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Это записывается как $\log_a b = x$. Применим это правило для каждого из данных равенств.

1) Дано равенство $3^3 = 27$.
В этом выражении основание $a=3$, показатель степени $x=3$ и результат $b=27$.
Применяя определение логарифма, получаем: $\log_3 27 = 3$.
Ответ: $\log_3 27 = 3$.

2) Дано равенство $2^5 = 32$.
Здесь основание $a=2$, показатель степени $x=5$ и результат $b=32$.
Соответствующее логарифмическое равенство: $\log_2 32 = 5$.
Ответ: $\log_2 32 = 5$.

3) Дано равенство $3^{-2} = \frac{1}{9}$.
В данном случае основание $a=3$, показатель степени $x=-2$ и результат $b=\frac{1}{9}$.
Записываем в виде логарифма: $\log_3 \left(\frac{1}{9}\right) = -2$.
Ответ: $\log_3 \frac{1}{9} = -2$.

4) Дано равенство $2^{-3} = \frac{1}{8}$.
Здесь основание $a=2$, показатель степени $x=-3$ и результат $b=\frac{1}{8}$.
Логарифмическая форма этого равенства: $\log_2 \left(\frac{1}{8}\right) = -3$.
Ответ: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$.

166.1) $4^3 = 64;$

2) $2^{-6} = \frac{1}{64};$

3) $3^4 = 81;$

4) $3^{-5} = \frac{1}{243}.$

Для решения этой задачи необходимо использовать определение логарифма. Логарифмом положительного числа $c$ по основанию $a$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) называется показатель степени $b$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $c$.

Это определение можно записать в виде эквивалентности: $a^b = c \Leftrightarrow \log_a c = b$.

Применим это правило к каждому из данных показательных равенств.

1)

Дано:

Показательное равенство $4^3 = 64$.

Найти:

Записать данное равенство в логарифмической форме.

Решение:

В соответствии с определением логарифма, равенство вида $a^b = c$ можно переписать как $\log_a c = b$.

В данном случае, основание $a = 4$, показатель степени $b = 3$, и число $c = 64$.

Подставляя эти значения в логарифмическую форму, получаем: $\log_4 64 = 3$.

Ответ: $\log_4 64 = 3$.

2)

Дано:

Показательное равенство $2^{-6} = \frac{1}{64}$.

Найти:

Записать данное равенство в логарифмической форме.

Решение:

В соответствии с определением логарифма, равенство вида $a^b = c$ можно переписать как $\log_a c = b$.

В данном случае, основание $a = 2$, показатель степени $b = -6$, и число $c = \frac{1}{64}$.

Подставляя эти значения в логарифмическую форму, получаем: $\log_2 \frac{1}{64} = -6$.

Ответ: $\log_2 \frac{1}{64} = -6$.

3)

Дано:

Показательное равенство $3^4 = 81$.

Найти:

Записать данное равенство в логарифмической форме.

Решение:

В соответствии с определением логарифма, равенство вида $a^b = c$ можно переписать как $\log_a c = b$.

В данном случае, основание $a = 3$, показатель степени $b = 4$, и число $c = 81$.

Подставляя эти значения в логарифмическую форму, получаем: $\log_3 81 = 4$.

Ответ: $\log_3 81 = 4$.

4)

Дано:

Показательное равенство $3^{-5} = \frac{1}{243}$.

Найти:

Записать данное равенство в логарифмической форме.

Решение:

В соответствии с определением логарифма, равенство вида $a^b = c$ можно переписать как $\log_a c = b$.

В данном случае, основание $a = 3$, показатель степени $b = -5$, и число $c = \frac{1}{243}$.

Подставляя эти значения в логарифмическую форму, получаем: $\log_3 \frac{1}{243} = -5$.

Ответ: $\log_3 \frac{1}{243} = -5$.

167.1) $27^{\frac{2}{3}} = 9$;

2) $32^{\frac{3}{5}} = 8$;

3) $81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27}$;

4) $125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{25}$.

1) Проверим истинность равенства $27^{\frac{2}{3}} = 9$.

Чтобы вычислить левую часть, воспользуемся свойством степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. Это свойство позволяет сначала извлечь корень из основания, а затем возвести результат в степень.

Применим это свойство к выражению $27^{\frac{2}{3}}$:

$27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2$

Найдем кубический корень из 27. Так как $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$3^2 = 9$

Таким образом, левая часть равенства равна 9, что совпадает с правой частью. Равенство $9 = 9$ является верным.

Ответ: Равенство верное.

2) Проверим истинность равенства $32^{\frac{3}{5}} = 8$.

Воспользуемся тем же свойством степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.

Применим его к левой части равенства:

$32^{\frac{3}{5}} = (\sqrt[5]{32})^3$

Найдем корень пятой степени из 32. Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.

Теперь возведем полученный результат в куб:

$2^3 = 8$

Левая часть равна 8, что совпадает с правой частью. Равенство $8 = 8$ является верным.

Ответ: Равенство верное.

3) Проверим истинность равенства $81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27}$.

Сначала используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

$81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{81^{\frac{3}{4}}}$

Теперь вычислим знаменатель $81^{\frac{3}{4}}$, используя свойство $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.

$81^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3$

Найдем корень четвертой степени из 81. Так как $3^4 = 81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$.

Возведем результат в куб:

$3^3 = 27$

Таким образом, $81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27}$. Равенство $\frac{1}{27} = \frac{1}{27}$ является верным.

Ответ: Равенство верное.

4) Проверим истинность равенства $125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{25}$.

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

$125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{125^{\frac{2}{3}}}$

Теперь вычислим знаменатель $125^{\frac{2}{3}}$, используя свойство $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.

$125^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{125})^2$

Найдем кубический корень из 125. Так как $5^3 = 125$, то $\sqrt[3]{125} = 5$.

Возведем результат в квадрат:

$5^2 = 25$

Таким образом, $125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{25}$. Равенство $\frac{1}{25} = \frac{1}{25}$ является верным.

Ответ: Равенство верное.

Проверьте справедливость равенств (168—171):

168. 1) $\log_3 81 = 4;$

2) $\log_5 1 = 0;$

3) $\log_2 64 = 6;$

4) $\log_5 625 = 4.$

1) Для проверки справедливости равенства $log_3 81 = 4$ воспользуемся определением логарифма. По определению, равенство $log_b a = c$ эквивалентно равенству $b^c = a$. В данном случае основание $b=3$, число $a=81$, а значение логарифма $c=4$.
Проверим, выполняется ли равенство $3^4 = 81$.
Вычислим левую часть: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.
Поскольку $81 = 81$, равенство верно. Следовательно, исходное логарифмическое равенство справедливо.
Ответ: Равенство справедливо.

2) Для проверки справедливости равенства $log_5 1 = 0$ воспользуемся определением логарифма: $log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a$.
В данном случае основание $b=5$, число $a=1$, а значение логарифма $c=0$.
Проверим, выполняется ли равенство $5^0 = 1$.
Согласно свойству степени, любое ненулевое число в нулевой степени равно 1. Таким образом, $5^0 = 1$.
Равенство верно, следовательно, исходное логарифмическое равенство справедливо.
Ответ: Равенство справедливо.

3) Для проверки справедливости равенства $log_2 64 = 6$ воспользуемся определением логарифма: $log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a$.
В данном случае основание $b=2$, число $a=64$, а значение логарифма $c=6$.
Проверим, выполняется ли равенство $2^6 = 64$.
Вычислим левую часть: $2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.
Поскольку $64 = 64$, равенство верно. Следовательно, исходное логарифмическое равенство справедливо.
Ответ: Равенство справедливо.

4) Для проверки справедливости равенства $log_5 625 = 4$ воспользуемся определением логарифма: $log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a$.
В данном случае основание $b=5$, число $a=625$, а значение логарифма $c=4$.
Проверим, выполняется ли равенство $5^4 = 625$.
Вычислим левую часть: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625$.
Поскольку $625 = 625$, равенство верно. Следовательно, исходное логарифмическое равенство справедливо.
Ответ: Равенство справедливо.