Номер 166, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

166.1) $4^3 = 64;$

2) $2^{-6} = \frac{1}{64};$

3) $3^4 = 81;$

4) $3^{-5} = \frac{1}{243}.$

Для решения этой задачи необходимо использовать определение логарифма. Логарифмом положительного числа $c$ по основанию $a$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) называется показатель степени $b$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $c$.

Это определение можно записать в виде эквивалентности: $a^b = c \Leftrightarrow \log_a c = b$.

Применим это правило к каждому из данных показательных равенств.

1)

Дано:

Показательное равенство $4^3 = 64$.

Найти:

Записать данное равенство в логарифмической форме.

Решение:

В соответствии с определением логарифма, равенство вида $a^b = c$ можно переписать как $\log_a c = b$.

В данном случае, основание $a = 4$, показатель степени $b = 3$, и число $c = 64$.

Подставляя эти значения в логарифмическую форму, получаем: $\log_4 64 = 3$.

Ответ: $\log_4 64 = 3$.

2)

Дано:

Показательное равенство $2^{-6} = \frac{1}{64}$.

Найти:

Записать данное равенство в логарифмической форме.

Решение:

В соответствии с определением логарифма, равенство вида $a^b = c$ можно переписать как $\log_a c = b$.

В данном случае, основание $a = 2$, показатель степени $b = -6$, и число $c = \frac{1}{64}$.

Подставляя эти значения в логарифмическую форму, получаем: $\log_2 \frac{1}{64} = -6$.

Ответ: $\log_2 \frac{1}{64} = -6$.

3)

Дано:

Показательное равенство $3^4 = 81$.

Найти:

Записать данное равенство в логарифмической форме.

Решение:

В соответствии с определением логарифма, равенство вида $a^b = c$ можно переписать как $\log_a c = b$.

В данном случае, основание $a = 3$, показатель степени $b = 4$, и число $c = 81$.

Подставляя эти значения в логарифмическую форму, получаем: $\log_3 81 = 4$.

Ответ: $\log_3 81 = 4$.

4)

Дано:

Показательное равенство $3^{-5} = \frac{1}{243}$.

Найти:

Записать данное равенство в логарифмической форме.

Решение:

В соответствии с определением логарифма, равенство вида $a^b = c$ можно переписать как $\log_a c = b$.

В данном случае, основание $a = 3$, показатель степени $b = -5$, и число $c = \frac{1}{243}$.

Подставляя эти значения в логарифмическую форму, получаем: $\log_3 \frac{1}{243} = -5$.

Ответ: $\log_3 \frac{1}{243} = -5$.