Номер 164, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

164. Найдите число точек пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x):$

1) $f(x) = 5^x$ и $g(x) = 6 - x;$

2) $f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ и $g(x) = 3 - x;$

3) $f(x) = 2^x - 2$ и $g(x) = 1 - x;$

4) $f(x) = 3^{-x}$ и $g(x) = -\frac{3}{x}.$

1) f(x) = 5^x и g(x) = 6 − x;

Чтобы найти число точек пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$, необходимо найти количество решений уравнения $f(x) = g(x)$, то есть $5^x = 6 - x$.Функция $f(x) = 5^x$ является показательной с основанием $5 > 1$, поэтому она строго возрастает на всей области определения.Функция $g(x) = 6 - x$ является линейной с угловым коэффициентом $-1$, поэтому она строго убывает на всей области определения.Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более одного раза.Проверим, есть ли у уравнения $5^x = 6 - x$ корень. Методом подбора легко найти, что при $x = 1$ левая часть равна $5^1 = 5$, и правая часть равна $6 - 1 = 5$.Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x=1$, и графики функций пересекаются в одной точке.

Ответ: 1

2) f(x) = (1/4)^x и g(x) = 3 − x;

Рассмотрим уравнение $(\frac{1}{4})^x = 3 - x$.Функция $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ — показательная, строго убывающая и выпуклая вниз.Функция $g(x) = 3 - x$ — линейная, строго убывающая.Прямая и выпуклая функция могут пересекаться не более двух раз.Введем вспомогательную функцию $h(x) = (\frac{1}{4})^x - (3 - x) = 4^{-x} + x - 3$. Найдем количество нулей этой функции.Ее производная $h'(x) = - \ln(4) \cdot 4^{-x} + 1$. Приравняем к нулю: $1 = \ln(4) \cdot 4^{-x}$, откуда $4^x = \ln(4)$, то есть $x_0 = \log_4(\ln 4) \approx 0.24$. Это точка единственного экстремума (минимума), так как вторая производная $h''(x) = (\ln 4)^2 \cdot 4^{-x} > 0$.Значение функции в точке минимума $h(x_0) < 0$.Пределы функции $h(x)$ на бесконечности: $\lim_{x \to \pm\infty} h(x) = +\infty$.Так как функция $h(x)$ непрерывна, убывает до отрицательного минимума, а затем возрастает, и ее пределы на $\pm\infty$ равны $+\infty$, она пересекает ось абсцисс дважды. Следовательно, графики имеют две точки пересечения. Один из корней можно найти подбором: при $x = -1$ имеем $(\frac{1}{4})^{-1} = 4$ и $3 - (-1) = 4$.

Ответ: 2

3) f(x) = 2^x − 2 и g(x) = 1 − x;

Приравняем функции: $2^x - 2 = 1 - x$, что эквивалентно уравнению $2^x + x - 3 = 0$.Рассмотрим функцию $h(x) = 2^x + x - 3$.Ее производная $h'(x) = 2^x \ln 2 + 1$. Поскольку $2^x > 0$ и $\ln 2 > 0$, производная $h'(x)$ всегда положительна.Это означает, что функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.Следовательно, она может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза.Подбором находим, что при $x = 1$ получаем $h(1) = 2^1 + 1 - 3 = 0$.Таким образом, уравнение имеет единственный корень, а графики функций — одну точку пересечения.

Ответ: 1

4) f(x) = 3^−x и g(x) = −3/x.

Рассмотрим уравнение $3^{-x} = -\frac{3}{x}$.Функция $f(x) = 3^{-x} = (\frac{1}{3})^x$ всегда положительна ($f(x) > 0$ для любого $x$).Функция $g(x) = -\frac{3}{x}$ определена для $x \neq 0$. Она положительна при $x < 0$ и отрицательна при $x > 0$.Следовательно, точки пересечения могут существовать только при $x < 0$.Рассмотрим уравнение на интервале $(-\infty, 0)$. Перепишем его в виде $x \cdot 3^{-x} = -3$.Введем функцию $h(x) = x \cdot 3^{-x}$ для $x < 0$.Найдем ее производную: $h'(x) = (x)' \cdot 3^{-x} + x \cdot (3^{-x})' = 3^{-x} + x \cdot (- \ln 3 \cdot 3^{-x}) = 3^{-x}(1 - x \ln 3)$.На интервале $x < 0$ множитель $3^{-x}$ положителен. Так как $x < 0$ и $\ln 3 > 0$, то $-x \ln 3 > 0$, а значит и $1 - x \ln 3 > 1$.Таким образом, $h'(x) > 0$ для всех $x < 0$, и функция $h(x)$ строго возрастает на этом интервале.Пределы $h(x)$ на границах интервала: $\lim_{x \to -\infty} x \cdot 3^{-x} = -\infty$ и $\lim_{x \to 0^{-}} x \cdot 3^{-x} = 0$.Функция $h(x)$ строго возрастает на $(-\infty, 0)$ от $-\infty$ до $0$. Значение $-3$ попадает в область значений функции, и поскольку функция монотонна, она принимает это значение ровно один раз.Подбором можно найти корень: при $x=-1$ левая часть равна $-1 \cdot 3^{-(-1)} = -1 \cdot 3 = -3$.Следовательно, существует единственная точка пересечения.

Ответ: 1