Номер 157, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

157. Упростите:

1) $\left(\frac{1}{a}\right)^{2+\sqrt{3}} \cdot a^{\sqrt{3}+2};$

2) $\left(a^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{6}} \cdot \left(a^{\sqrt{3}+1} : a^{\sqrt{3}}\right);$

3) $b^{3.5} : \left(b\sqrt{b^3}\right);$

4) $b^{\sqrt{5}} \cdot b^{1.4} : \sqrt[4]{b^{4\sqrt{5}}}.$

1)

Дано:

Выражение для упрощения: $(\frac{1}{a})^{2+\sqrt{3}} \cdot a^{\sqrt{3}+2}$

Найти:

Упрощенное выражение.

Решение:

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней.

1. Представим дробь $\frac{1}{a}$ в виде степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a} = a^{-1}$.

Тогда выражение $(\frac{1}{a})^{2+\sqrt{3}}$ можно переписать как $(a^{-1})^{2+\sqrt{3}}$.

2. Используем свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^{-1})^{2+\sqrt{3}} = a^{-1 \cdot (2+\sqrt{3})} = a^{-2-\sqrt{3}}$.

3. Теперь исходное выражение принимает вид:

$a^{-2-\sqrt{3}} \cdot a^{\sqrt{3}+2}$.

4. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$a^{-2-\sqrt{3}} \cdot a^{\sqrt{3}+2} = a^{(-2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}+2)}$.

5. Сложим показатели:

$-2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 2 = 0$.

6. В результате получаем $a^0$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: $x^0=1$.

$a^0 = 1$.

Ответ: 1.

2)

Дано:

Выражение для упрощения: $(a^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}} \cdot (a^{\sqrt{3}+1} : a^{\sqrt{3}})$

Найти:

Упрощенное выражение.

Решение:

Упростим выражение по частям, используя свойства степеней.

1. Упростим первый множитель $(a^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}}$, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}} = a^{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = a^6$.

2. Упростим второй множитель $(a^{\sqrt{3}+1} : a^{\sqrt{3}})$. Знак ":" обозначает деление. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

$a^{\sqrt{3}+1} : a^{\sqrt{3}} = a^{(\sqrt{3}+1) - \sqrt{3}} = a^{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}} = a^1 = a$.

3. Теперь перемножим полученные результаты:

$a^6 \cdot a$.

4. Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^6 \cdot a = a^6 \cdot a^1 = a^{6+1} = a^7$.

Ответ: $a^7$.

3)

Дано:

Выражение для упрощения: $b^{3,5} : (b \sqrt{b^3})$

Найти:

Упрощенное выражение.

Решение:

Для упрощения выражения преобразуем его части, используя свойства степеней и корней.

1. Упростим выражение в скобках: $b \sqrt{b^3}$.

Представим квадратный корень как степень с дробным показателем: $\sqrt{b^3} = (b^3)^{1/2}$.

Используя свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем: $(b^3)^{1/2} = b^{3 \cdot \frac{1}{2}} = b^{3/2}$.

Теперь выражение в скобках имеет вид: $b \cdot b^{3/2}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $b \cdot b^{3/2} = b^1 \cdot b^{3/2} = b^{1 + \frac{3}{2}} = b^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} = b^{5/2}$.

2. Исходное выражение теперь выглядит так: $b^{3,5} : b^{5/2}$.

3. Переведем десятичный показатель степени в дробный для удобства вычислений: $3.5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$.

Выражение принимает вид: $b^{7/2} : b^{5/2}$.

4. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

$b^{7/2} : b^{5/2} = b^{\frac{7}{2} - \frac{5}{2}} = b^{\frac{2}{2}} = b^1 = b$.

Ответ: $b$.

4)

Дано:

Выражение для упрощения: $b^{\sqrt{5}} \cdot b^{1,4} : \sqrt[4]{b^{4\sqrt{5}}}$

Найти:

Упрощенное выражение.

Решение:

Упростим выражение по частям, выполняя действия по порядку.

1. Сначала рассмотрим делитель $\sqrt[4]{b^{4\sqrt{5}}}$.

Используем свойство корня $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$:

$\sqrt[4]{b^{4\sqrt{5}}} = (b^{4\sqrt{5}})^{1/4} = b^{\frac{4\sqrt{5}}{4}} = b^{\sqrt{5}}$.

2. Теперь исходное выражение можно записать как:

$(b^{\sqrt{5}} \cdot b^{1,4}) : b^{\sqrt{5}}$.

3. Выполним умножение в скобках. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$b^{\sqrt{5}} \cdot b^{1,4} = b^{\sqrt{5} + 1,4}$.

4. Теперь выполним деление:

$b^{\sqrt{5} + 1,4} : b^{\sqrt{5}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

$b^{\sqrt{5} + 1,4} : b^{\sqrt{5}} = b^{(\sqrt{5} + 1,4) - \sqrt{5}} = b^{\sqrt{5} + 1,4 - \sqrt{5}} = b^{1,4}$.

Ответ: $b^{1,4}$.