Номер 152, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

152. Перечислите свойства функции по ее графику (рис. 29).

1 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2$

2 $y = 4^{x-1} - 1$

Рис. 29

1)

Проанализируем график функции $y = (\frac{1}{2})^x - 2$ и перечислим ее свойства.
- Область определения: график функции простирается неограниченно влево и вправо, поэтому функция определена для всех действительных значений $x$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: график функции полностью лежит выше пунктирной линии $y=-2$ (горизонтальной асимптоты). Значения функции строго больше -2. Таким образом, $E(y) = (-2; +\infty)$.
- Нули функции: график пересекает ось абсцисс (Ox) в точке, где $x=-1$. Это нуль функции.
- Промежутки знакопостоянства: график находится выше оси Ox (т.е. $y>0$) для всех $x$ левее точки пересечения, и ниже оси Ox (т.е. $y<0$) для всех $x$ правее. Таким образом, $y>0$ при $x \in (-\infty; -1)$, и $y<0$ при $x \in (-1; +\infty)$.
- Монотонность: при увеличении $x$ (движении по графику слева направо), значение $y$ постоянно уменьшается. Следовательно, функция является убывающей на всей своей области определения.
- Точки пересечения с осями координат: из графика видно, что пересечение с осью Ox происходит в точке $(-1; 0)$, а с осью Oy — в точке $(0; -1)$.
- Асимптоты: при $x \to +\infty$ график неограниченно приближается к горизонтальной прямой $y=-2$. Эта прямая является горизонтальной асимптотой.
- Четность и нечетность: график не является симметричным ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат, следовательно, это функция общего вида.
Ответ: Свойства функции $y = (\frac{1}{2})^x - 2$:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-2; +\infty)$.
3. Функция убывающая на всей области определения.
4. Нуль функции: $x=-1$.
5. $y > 0$ при $x \in (-\infty; -1)$; $y < 0$ при $x \in (-1; +\infty)$.
6. Пересечение с осями: с осью Ox в точке $(-1; 0)$, с осью Oy в точке $(0; -1)$.
7. Горизонтальная асимптота: $y=-2$.
8. Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

2)

Проанализируем график функции $y = 4^{x-1} - 1$ и перечислим ее свойства.
- Область определения: функция определена для всех действительных значений $x$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: график функции полностью лежит выше пунктирной линии $y=-1$. Значения функции строго больше -1. Таким образом, $E(y) = (-1; +\infty)$.
- Нули функции: график пересекает ось абсцисс (Ox) в точке, где $x=1$. Это нуль функции.
- Промежутки знакопостоянства: график находится ниже оси Ox ($y<0$) при $x < 1$, и выше оси Ox ($y>0$) при $x > 1$. Таким образом, $y<0$ на $(-\infty; 1)$, $y>0$ на $(1; +\infty)$.
- Монотонность: при увеличении $x$ (движении по графику слева направо), значение $y$ постоянно увеличивается. Следовательно, функция является возрастающей на всей своей области определения.
- Точки пересечения с осями координат: с осью Ox пересечение в точке $(1; 0)$. Для нахождения пересечения с Oy подставим $x=0$: $y=4^{0-1}-1 = 4^{-1}-1 = \frac{1}{4}-1 = -0.75$. Точка пересечения с Oy: $(0; -0.75)$.
- Асимптоты: при $x \to -\infty$ график неограниченно приближается к горизонтальной прямой $y=-1$. Эта прямая является горизонтальной асимптотой.
- Четность и нечетность: график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат, следовательно, это функция общего вида.
Ответ: Свойства функции $y = 4^{x-1} - 1$:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-1; +\infty)$.
3. Функция возрастающая на всей области определения.
4. Нуль функции: $x=1$.
5. $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$; $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$.
6. Пересечение с осями: с осью Ox в точке $(1; 0)$, с осью Oy в точке $(0; -0.75)$.
7. Горизонтальная асимптота: $y=-1$.
8. Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).