Номер 148, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

148.

1)

$ \int_0^5 5 (1 + 3x)^{-0.75} dx $,

2)

$ \int_0^{155} 0.4 (1 + 0.2x)^{-0.6} dx $.

1)

Дано:

Определенный интеграл $ \int_{0}^{5} 5 (1 + 3x)^{-0.75} dx $.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $.

Сначала найдем неопределенный интеграл (первообразную) от функции $ f(x) = 5 (1 + 3x)^{-0.75} $.

$ F(x) = \int 5 (1 + 3x)^{-0.75} dx = 5 \int (1 + 3x)^{-0.75} dx $

Для вычисления интеграла применим метод замены переменной. Пусть $ t = 1 + 3x $. Тогда дифференциал $ dt = (1 + 3x)' dx = 3 dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{3} $.

Подставим новую переменную в интеграл:

$ 5 \int t^{-0.75} \frac{dt}{3} = \frac{5}{3} \int t^{-0.75} dt $

Теперь используем табличный интеграл для степенной функции $ \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C $:

$ \frac{5}{3} \cdot \frac{t^{-0.75+1}}{-0.75+1} + C = \frac{5}{3} \cdot \frac{t^{0.25}}{0.25} + C $

Поскольку $ 0.25 = \frac{1}{4} $, получаем:

$ \frac{5}{3} \cdot \frac{t^{0.25}}{1/4} + C = \frac{5}{3} \cdot 4 \cdot t^{0.25} + C = \frac{20}{3} t^{0.25} + C $

Теперь выполним обратную замену $ t = 1 + 3x $:

$ F(x) = \frac{20}{3} (1 + 3x)^{0.25} $

Теперь, имея первообразную, вычислим определенный интеграл:

$ \int_{0}^{5} 5 (1 + 3x)^{-0.75} dx = \left[ \frac{20}{3} (1 + 3x)^{0.25} \right]_{0}^{5} = \frac{20}{3} (1 + 3 \cdot 5)^{0.25} - \frac{20}{3} (1 + 3 \cdot 0)^{0.25} $

Вычислим значения на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

При $ x = 5 $: $ \frac{20}{3} (1 + 15)^{0.25} = \frac{20}{3} (16)^{1/4} = \frac{20}{3} \cdot 2 = \frac{40}{3} $

При $ x = 0 $: $ \frac{20}{3} (1 + 0)^{0.25} = \frac{20}{3} (1)^{1/4} = \frac{20}{3} \cdot 1 = \frac{20}{3} $

Вычитаем значение на нижнем пределе из значения на верхнем:

$ \frac{40}{3} - \frac{20}{3} = \frac{20}{3} $

Ответ: $ \frac{20}{3} $.

2)

Дано:

Определенный интеграл $ \int_{0}^{155} 0.4 (1 + 0.2x)^{-0.6} dx $.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Аналогично предыдущему пункту, сначала найдем первообразную функции $ f(x) = 0.4 (1 + 0.2x)^{-0.6} $.

$ F(x) = \int 0.4 (1 + 0.2x)^{-0.6} dx = 0.4 \int (1 + 0.2x)^{-0.6} dx $

Произведем замену переменной. Пусть $ t = 1 + 0.2x $. Тогда $ dt = (1 + 0.2x)' dx = 0.2 dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{0.2} $.

Подставляем в интеграл:

$ 0.4 \int t^{-0.6} \frac{dt}{0.2} = \frac{0.4}{0.2} \int t^{-0.6} dt = 2 \int t^{-0.6} dt $

Интегрируем степенную функцию:

$ 2 \cdot \frac{t^{-0.6+1}}{-0.6+1} + C = 2 \cdot \frac{t^{0.4}}{0.4} + C $

Так как $ \frac{2}{0.4} = \frac{2}{4/10} = \frac{20}{4} = 5 $, получаем:

$ 5 t^{0.4} + C $

Выполняем обратную замену $ t = 1 + 0.2x $:

$ F(x) = 5 (1 + 0.2x)^{0.4} $

Теперь вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{155} 0.4 (1 + 0.2x)^{-0.6} dx = \left[ 5 (1 + 0.2x)^{0.4} \right]_{0}^{155} = 5 (1 + 0.2 \cdot 155)^{0.4} - 5 (1 + 0.2 \cdot 0)^{0.4} $

Вычислим значения на пределах:

При $ x = 155 $: $ 5 (1 + 0.2 \cdot 155)^{0.4} = 5 (1 + 31)^{0.4} = 5 (32)^{0.4} $. Поскольку $ 0.4 = \frac{2}{5} $, то $ (32)^{2/5} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4 $. Значение равно $ 5 \cdot 4 = 20 $.

При $ x = 0 $: $ 5 (1 + 0)^{0.4} = 5 (1)^{0.4} = 5 \cdot 1 = 5 $.

Вычитаем результаты:

$ 20 - 5 = 15 $

Ответ: $ 15 $.