Номер 141, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

141. Вычислите интеграл:

1) $\int_1^8 x^{-\frac{1}{3}} dx;$

2) $\int_1^4 \frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}};$

3) $\int_{16}^{81} 4x^{-\frac{1}{4}} dx;$

4) $\int_1^{32} 6x^{\frac{1}{5}} dx.$

1)

Дано:

Интеграл $ \int_1^8 x^{-\frac{1}{3}} dx $.

Найти:

Значение определенного интеграла.

Решение:

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $. Первообразную для степенной функции $ x^n $ находим по формуле $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $.

В данном случае подынтегральная функция $ f(x) = x^{-\frac{1}{3}} $. Найдем ее первообразную:

$ F(x) = \int x^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} $.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$ \int_1^8 x^{-\frac{1}{3}} dx = \left. \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} \right|_1^8 = \frac{3}{2}(8^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2}(1^{\frac{2}{3}}) = \frac{3}{2}(\sqrt[3]{8})^2 - \frac{3}{2}(1) = \frac{3}{2}(2^2) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{3}{2} = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12}{2} - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} $.

Ответ: $ \frac{9}{2} $.

2)

Дано:

Интеграл $ \int_1^4 \frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}} $.

Найти:

Значение определенного интеграла.

Решение:

Перепишем подынтегральное выражение в виде степенной функции: $ \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = x^{-\frac{3}{2}} $.

Найдем первообразную для $ f(x) = x^{-\frac{3}{2}} $:

$ F(x) = \int x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1} = \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} = -2x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{x}} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_1^4 x^{-\frac{3}{2}} dx = \left. \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right) \right|_1^4 = \left(-\frac{2}{\sqrt{4}}\right) - \left(-\frac{2}{\sqrt{1}}\right) = -\frac{2}{2} - (-2) = -1 + 2 = 1 $.

Ответ: 1.

3)

Дано:

Интеграл $ \int_{16}^{81} 4x^{-\frac{1}{4}} dx $.

Найти:

Значение определенного интеграла.

Решение:

Вынесем константу за знак интеграла и найдем первообразную для $ x^{-\frac{1}{4}} $:

$ \int 4x^{-\frac{1}{4}} dx = 4 \int x^{-\frac{1}{4}} dx = 4 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{4}+1}}{-\frac{1}{4}+1} = 4 \cdot \frac{x^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}} = 4 \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{3}{4}} = \frac{16}{3}x^{\frac{3}{4}} $.

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{16}^{81} 4x^{-\frac{1}{4}} dx = \left. \frac{16}{3}x^{\frac{3}{4}} \right|_{16}^{81} = \frac{16}{3}(81^{\frac{3}{4}}) - \frac{16}{3}(16^{\frac{3}{4}}) = \frac{16}{3}((\sqrt[4]{81})^3) - \frac{16}{3}((\sqrt[4]{16})^3) = \frac{16}{3}(3^3) - \frac{16}{3}(2^3) = \frac{16}{3}(27) - \frac{16}{3}(8) = 16 \cdot 9 - \frac{128}{3} = 144 - \frac{128}{3} = \frac{432 - 128}{3} = \frac{304}{3} $.

Ответ: $ \frac{304}{3} $.

4)

Дано:

Интеграл $ \int_1^{32} 6x^{\frac{1}{5}} dx $.

Найти:

Значение определенного интеграла.

Решение:

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 6x^{\frac{1}{5}} $:

$ F(x) = \int 6x^{\frac{1}{5}} dx = 6 \int x^{\frac{1}{5}} dx = 6 \cdot \frac{x^{\frac{1}{5}+1}}{\frac{1}{5}+1} = 6 \cdot \frac{x^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} = 6 \cdot \frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}} = 5x^{\frac{6}{5}} $.

Вычислим определенный интеграл:

$ \int_1^{32} 6x^{\frac{1}{5}} dx = \left. 5x^{\frac{6}{5}} \right|_1^{32} = 5(32^{\frac{6}{5}}) - 5(1^{\frac{6}{5}}) = 5((\sqrt[5]{32})^6) - 5(1) = 5(2^6) - 5 = 5 \cdot 64 - 5 = 320 - 5 = 315 $.

Ответ: 315.