Номер 135, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

135. Решите систему неравенств графическим способом:

1) $\begin{cases} y > x^2, \\ y \le x + 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y \ge -x^2, \\ y < -x; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y < x^3, \\ y \ge x^2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y \le x^5; \\ y > -x^4. \end{cases}$

1) $\begin{cases} y > x^2 \\ y \le x+4 \end{cases}$

Решение:

Для решения системы неравенств графическим способом построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = x + 4$.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Так как неравенство $y > x^2$ строгое, точки на параболе не являются решением, поэтому на графике она изображается пунктирной линией. Решением этого неравенства является область плоскости, расположенная выше параболы.

2. График функции $y = x + 4$ — это прямая. Для её построения найдём две точки, например, (0, 4) и (-4, 0). Так как неравенство $y \le x + 4$ нестрогое, точки на прямой являются решением, поэтому она изображается сплошной линией. Решением этого неравенства является область плоскости, расположенная ниже этой прямой, включая саму прямую.

3. Найдём точки пересечения графиков, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x+4 \end{cases}$

Отсюда $x^2 = x + 4$, или $x^2 - x - 4 = 0$.

Используем формулу корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Точки пересечения имеют абсциссы $x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \approx -1.56$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx 2.56$.

Соответствующие ординаты: $y_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2} \approx 2.44$ и $y_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2} \approx 6.56$.

4. Решением системы является пересечение областей, то есть множество точек, расположенных одновременно выше параболы $y=x^2$ и ниже (или на) прямой $y=x+4$. Эта область заштрихована на графике.

Ответ: Решением системы является множество точек на плоскости, заключённых между параболой $y=x^2$ и прямой $y=x+4$. Граница, принадлежащая прямой, включается в решение, а граница, принадлежащая параболе, — не включается. Решение показано штриховкой на рисунке.

2) $\begin{cases} y \ge -x^2 \\ y < -x \end{cases}$

Решение:

1. График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вниз. Неравенство $y \ge -x^2$ нестрогое, поэтому парабола изображается сплошной линией. Решением является область над параболой, включая её границу.

2. График функции $y = -x$ — это прямая, проходящая через начало координат и точку (1, -1). Неравенство $y < -x$ строгое, поэтому прямая изображается пунктирной линией. Решением является область под этой прямой.

3. Найдём точки пересечения графиков:

$\begin{cases} y = -x^2 \\ y = -x \end{cases}$

$-x^2 = -x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1)=0$.

Корни: $x_1=0$, $x_2=1$.

Точки пересечения: (0, 0) и (1, -1).

4. Решением системы является пересечение областей: множество точек, расположенных над параболой $y=-x^2$ (включая параболу) и под прямой $y=-x$. Эта область заштрихована на графике.

Ответ: Решением системы является множество точек на плоскости, ограниченное снизу параболой $y=-x^2$ и сверху прямой $y=-x$ на интервале $x \in (0, 1)$. Граница, принадлежащая параболе, включается в решение, а граница, принадлежащая прямой, — не включается. Решение показано штриховкой на рисунке.

3) $\begin{cases} y < x^3 \\ y \ge x^2 \end{cases}$

Решение:

1. График функции $y = x^3$ — кубическая парабола, проходящая через точки (-1, -1), (0, 0), (1, 1). Неравенство $y < x^3$ строгое, поэтому график изображается пунктирной линией. Решением является область под этой кривой.

2. График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в (0, 0), ветвями вверх. Неравенство $y \ge x^2$ нестрогое, поэтому парабола изображается сплошной линией. Решением является область над параболой, включая её границу.

3. Найдём точки пересечения графиков:

$\begin{cases} y = x^3 \\ y = x^2 \end{cases}$

$x^3 = x^2 \implies x^3 - x^2 = 0 \implies x^2(x-1)=0$.

Корни: $x_1=0$ (касание), $x_2=1$.

Точки пересечения: (0, 0) и (1, 1).

4. Решение системы — это множество точек $(x, y)$, для которых выполняется условие $x^2 \le y < x^3$. Такое возможно только когда $x^2 < x^3$, то есть $x^3 - x^2 > 0$, или $x^2(x-1) > 0$. Так как $x^2 \ge 0$, это неравенство выполняется при $x-1>0$ и $x \ne 0$, то есть при $x>1$. Таким образом, решение существует только для $x > 1$. Это область между графиками функций $y=x^2$ и $y=x^3$ справа от точки их пересечения (1, 1).

Ответ: Решением системы является бесконечная область, ограниченная снизу параболой $y=x^2$ (включая границу) и сверху кубической параболой $y=x^3$ (не включая границу) при $x>1$. Решение показано штриховкой на рисунке.

4) $\begin{cases} y \le x^5 \\ y > -x^4 \end{cases}$

Решение:

1. График функции $y = x^5$ — кривая, похожая на кубическую параболу, но более круто возрастающая при $|x|>1$. Проходит через точки (-1, -1), (0, 0), (1, 1). Неравенство $y \le x^5$ нестрогое, линия сплошная. Решение — область под кривой, включая её.

2. График функции $y = -x^4$ — кривая, похожая на параболу с ветвями вниз, но более плоская у вершины (0,0). Проходит через точки (-1, -1), (0, 0), (1, -1). Неравенство $y > -x^4$ строгое, линия пунктирная. Решение — область над этой кривой.

3. Найдём точки пересечения графиков:

$\begin{cases} y = x^5 \\ y = -x^4 \end{cases}$

$x^5 = -x^4 \implies x^5 + x^4 = 0 \implies x^4(x+1)=0$.

Корни: $x_1=0$ (касание), $x_2=-1$.

Точки пересечения: (0, 0) и (-1, -1).

4. Решение системы — это множество точек $(x, y)$, для которых выполняется условие $-x^4 < y \le x^5$. Это возможно, когда $-x^4 < x^5$, то есть $x^4(x+1)>0$. Это неравенство верно при $x+1 > 0$ и $x \ne 0$, то есть при $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

Таким образом, решение состоит из двух областей:

а) Область между кривыми на интервале $x \in (-1, 0)$.

б) Бесконечная область между кривыми при $x>0$.

Ответ: Решением системы является объединение двух областей: области, заключенной между кривыми $y=x^5$ и $y=-x^4$ на интервале $x \in (-1, 0)$, и бесконечной области между этими же кривыми при $x>0$. Граница $y=x^5$ включается в решение (кроме точек пересечения), граница $y=-x^4$ не включается. Решение показано штриховкой на рисунке.