Номер 132, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Используя простейшие преобразования графиков функций, постройте графики функции $y = f(x)$ (132—133):

132. 1) $f(x) = -\frac{1}{x^3}$;

2) $f(x) = \frac{1}{x^6} + 3,5$;

3) $f(x) = x^{0,5} - 2$;

4) $f(x) = 3 + 2x^{0,5}$.

1) $f(x) = -\frac{1}{x^3}$

Решение

Для построения графика функции $f(x) = -\frac{1}{x^3}$ используем метод преобразования графиков, взяв за основу график известной функции.

1. Базовой функцией является степенная функция $y_0(x) = \frac{1}{x^3}$. Это нечетная функция, ее график симметричен относительно начала координат и расположен в I и III координатных четвертях. График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$. Оси координат являются асимптотами.

2. Искомая функция $f(x) = -y_0(x) = -\frac{1}{x^3}$. Знак "минус" перед функцией означает симметричное отражение (зеркалирование) графика базовой функции относительно оси абсцисс (Ox). Таким образом, ветвь графика из I четверти ($y>0$) отразится в IV четверть ($y<0$), а ветвь из III четверти ($y<0$) отразится во II четверть ($y>0$).

Точки, характерные для нового графика: $(1; -1)$ и $(-1; 1)$. Асимптоты остаются прежними: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).

Ответ: График функции $f(x) = -\frac{1}{x^3}$ получается из графика $y=\frac{1}{x^3}$ путем симметричного отражения относительно оси Ox. Полученный график изображен на рисунке выше.

2) $f(x) = \frac{1}{x^6} + 3,5$

Решение

Для построения графика функции $f(x) = \frac{1}{x^6} + 3,5$ используем метод преобразования графиков.

1. Базовой функцией является степенная функция $y_0(x) = \frac{1}{x^6}$. Это четная функция, так как показатель степени 6 — четное число. Ее график симметричен относительно оси ординат (Oy) и расположен в I и II координатных четвертях. График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось Oy ($x=0$) — вертикальной асимптотой.

2. Искомая функция $f(x) = y_0(x) + 3,5 = \frac{1}{x^6} + 3,5$. Это означает, что для получения графика $f(x)$ необходимо график базовой функции $y_0(x)$ сместить (параллельно перенести) на 3,5 единицы вверх вдоль оси Oy.

При этом преобразовании все точки графика смещаются вверх. Вертикальная асимптота $x=0$ остается на месте, а горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=3,5$. Точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$ переходят в точки $(1; 1+3,5)=(1; 4,5)$ и $(-1; 1+3,5)=(-1; 4,5)$.

Ответ: График функции $f(x) = \frac{1}{x^6} + 3,5$ получается из графика $y=\frac{1}{x^6}$ путем его сдвига на 3,5 единицы вверх по оси Oy. Горизонтальная асимптота смещается на $y=3,5$. График представлен выше.

3) $f(x) = x^{0,5} - 2$

Решение

Для построения графика функции $f(x) = x^{0,5} - 2$, что эквивалентно $f(x) = \sqrt{x} - 2$, используем метод преобразования графиков.

1. Базовой функцией является $y_0(x) = x^{0,5} = \sqrt{x}$. Область определения этой функции $x \ge 0$. Ее график — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График начинается в точке $(0; 0)$ и проходит через точки $(1; 1)$, $(4; 2)$, $(9; 3)$.

2. Искомая функция $f(x) = y_0(x) - 2 = \sqrt{x} - 2$. Это означает, что для получения графика $f(x)$ необходимо график базовой функции $y_0(x)$ сместить на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

При этом преобразовании все точки графика смещаются вниз. Начальная точка $(0; 0)$ переходит в точку $(0; -2)$. Точки $(1; 1)$, $(4; 2)$ переходят соответственно в $(1; -1)$ и $(4; 0)$. Область определения не изменяется: $x \ge 0$.

Ответ: График функции $f(x) = x^{0,5} - 2$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем его сдвига на 2 единицы вниз по оси Oy. График начинается в точке $(0; -2)$ и пересекает ось Ox в точке $(4; 0)$. График представлен выше.

4) $f(x) = 3 + 2x^{0,5}$

Решение

Для построения графика функции $f(x) = 3 + 2x^{0,5}$, что эквивалентно $f(x) = 3 + 2\sqrt{x}$, используем метод последовательных преобразований графиков.

1. Базовой функцией является $y_0(x) = \sqrt{x}$. Ее график — это ветвь параболы, выходящая из начала координат $(0; 0)$ и проходящая через точки $(1; 1)$, $(4; 2)$.

2. Первое преобразование — растяжение вдоль оси Oy. Функция $y_1(x) = 2\sqrt{x}$. График этой функции получается из графика $y_0(x)$ растяжением в 2 раза от оси Ox. Каждая ордината точки графика умножается на 2. Точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(4; 2)$ переходят в точки $(0; 0)$, $(1; 2)$, $(4; 4)$.

3. Второе преобразование — сдвиг вверх. Искомая функция $f(x) = 2\sqrt{x} + 3 = y_1(x) + 3$. Ее график получается из графика $y_1(x)$ сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

В результате этого сдвига точки $(0; 0)$, $(1; 2)$, $(4; 4)$ переходят в точки $(0; 3)$, $(1; 5)$, $(4; 7)$. Область определения функции $x \ge 0$. График начинается в точке $(0; 3)$ и возрастает.

Ответ: График функции $f(x) = 3 + 2x^{0,5}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси Oy и последующего сдвига на 3 единицы вверх. График начинается в точке $(0; 3)$. График представлен выше.