Номер 127, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Постройте схематически графики функции $y=f(x)$ (127–128):

127.1) $f(x) = x^6$;

2) $f(x) = x^{-5}$;

3) $f(x) = x^{\frac{4}{3}};

4) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$.

1) $f(x) = x^6$

Это степенная функция $y = x^p$ с показателем $p=6$.

Свойства функции:

1. Область определения: все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^6 = x^6 = f(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

3. Область значений: так как $x^6 \ge 0$ для любого $x$, область значений функции $E(f) = [0; +\infty)$.

4. Нули функции: $f(x)=0$ при $x=0$. График проходит через начало координат (0, 0).

5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \ne 0$.

6. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Контрольные точки: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; 1)$.

График функции напоминает параболу $y=x^2$, но ветви $y=x^6$ более круто устремлены вверх при $|x|>1$ и более "плоские" вблизи начала координат.

Схематический график функции:

Ответ: Схематический график функции $f(x)=x^6$ представлен на рисунке выше.

2) $f(x) = x^{-5}$

Это степенная функция $y = x^p$ с показателем $p=-5$. Функцию можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{x^5}$.

Свойства функции:

1. Область определения: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность: функция является нечетной, так как $f(-x) = (-x)^{-5} = -\frac{1}{x^5} = -f(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.

3. Область значений: $y$ не может быть равно нулю. $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4. Асимптоты: - Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось OY). При $x \to 0^+$ $y \to +\infty$, при $x \to 0^-$ $y \to -\infty$. - Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось OX). При $x \to \pm\infty$ $y \to 0$.

5. Монотонность: функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

6. Контрольные точки: $(1; 1)$, $(-1; -1)$.

График функции — гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

Схематический график функции:

Ответ: Схематический график функции $f(x)=x^{-5}$ представлен на рисунке выше.

3) $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$

Это степенная функция $y = x^p$ с рациональным показателем $p = \frac{4}{3} > 1$. Функцию можно записать в виде $f(x) = \sqrt[3]{x^4}$ или $f(x) = (\sqrt[3]{x})^4$.

Свойства функции:

1. Область определения: кубический корень определен для любых действительных чисел, поэтому $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: функция является четной, так как $f(-x) = \sqrt[3]{(-x)^4} = \sqrt[3]{x^4} = f(x)$. График симметричен относительно оси OY.

3. Область значений: так как $x^4 \ge 0$, то и $\sqrt[3]{x^4} \ge 0$. Следовательно, $E(f) = [0; +\infty)$.

4. Нули функции: $f(x)=0$ при $x=0$. График проходит через начало координат.

5. Монотонность: функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.

6. Поведение в нуле: производная $f'(x) = \frac{4}{3}x^{1/3}$ в точке $x=0$ равна нулю, что означает, что касательная к графику в начале координат горизонтальна.

7. Контрольные точки: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; 1)$.

График похож на параболу, но "шире" графика $y=x^2$ при $|x|>1$.

Схематический график функции:

Ответ: Схематический график функции $f(x)=x^{\frac{4}{3}}$ представлен на рисунке выше.

4) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$

Это степенная функция $y = x^p$ с рациональным отрицательным показателем $p = -\frac{3}{4}$. Функцию можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{x^{3/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$.

Свойства функции:

1. Область определения: так как в знаменателе корень четной степени (4-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$). Так как знаменатель не может быть равен нулю, то $x \ne 0$. Итоговая область определения $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно нуля.

3. Область значений: для $x>0$ знаменатель $\sqrt[4]{x^3} > 0$, поэтому и вся дробь положительна. $E(f) = (0; +\infty)$.

4. Асимптоты: - Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось OY). При $x \to 0^+$ $y \to +\infty$. - Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось OX). При $x \to +\infty$ $y \to 0$.

5. Монотонность: функция убывает на всей своей области определения $(0; +\infty)$.

6. Контрольные точки: $(1; 1)$.

График функции расположен в I координатной четверти и является убывающей кривой.

Схематический график функции:

Ответ: Схематический график функции $f(x)=x^{-\frac{3}{4}}$ представлен на рисунке выше.