Номер 131, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

131. Определите множество значений функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^{\frac{1}{2}} - 5;$

2) $f(x) = \frac{1}{x^4} + 3,5;$

3) $f(x) = x^{3,7} - 2;$

4) $f(x) = \frac{1}{x^5} + \frac{1}{7}.$

1)

Дано:

Функция $f(x) = x^{\frac{1}{2}} - 5$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Функцию можно записать в виде $f(x) = \sqrt{x} - 5$.

Область определения степенной функции $x^a$ с нецелым показателем $a = \frac{1}{2}$ — это множество неотрицательных чисел. Следовательно, область определения данной функции $D(f) = [0; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt{x}$. Ее множество значений $E(g) = [0; +\infty)$. То есть, $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

Функция $f(x)$ получается из функции $g(x)$ сдвигом вдоль оси ординат на 5 единиц вниз. Таким образом, для нахождения множества значений $f(x)$ нужно из каждого значения $g(x)$ вычесть 5.

Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $f(x) = \sqrt{x} - 5 \ge 0 - 5 = -5$.

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, большие или равные -5.

Ответ: $E(f) = [-5; +\infty)$.

2)

Дано:

Функция $f(x) = \frac{1}{x^4} + 3,5$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^4 \ne 0$, откуда $x \ne 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Рассмотрим выражение $x^4$. Так как показатель степени четный, $x^4 > 0$ для любого $x \ne 0$.

Следовательно, выражение $\frac{1}{x^4}$ также всегда будет строго положительным: $\frac{1}{x^4} > 0$.

При $x \to 0$, $x^4 \to 0^+$, и $\frac{1}{x^4} \to +\infty$.

При $x \to \pm\infty$, $x^4 \to +\infty$, и $\frac{1}{x^4} \to 0$.

Таким образом, множество значений функции $g(x) = \frac{1}{x^4}$ есть интервал $(0; +\infty)$.

Функция $f(x)$ получается из функции $g(x)$ сдвигом вдоль оси ординат на 3,5 единицы вверх.

Поскольку $\frac{1}{x^4} > 0$, то $f(x) = \frac{1}{x^4} + 3,5 > 0 + 3,5 = 3,5$.

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие 3,5.

Ответ: $E(f) = (3,5; +\infty)$.

3)

Дано:

Функция $f(x) = x^{3,7} - 2$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Показатель степени $3,7$ является нецелым числом. По определению, степенная функция $x^a$ с нецелым показателем $a$ рассматривается для $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции $D(f) = [0; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = x^{3,7}$. Поскольку показатель степени $3,7 > 0$, функция является возрастающей на всей области определения.

Найдем наименьшее значение функции. Оно достигается при наименьшем значении аргумента $x=0$.

$g(0) = 0^{3,7} = 0$.

При $x \to +\infty$, $g(x) \to +\infty$.

Таким образом, множество значений функции $g(x)$ есть луч $[0; +\infty)$.

Функция $f(x)$ получается из функции $g(x)$ сдвигом вдоль оси ординат на 2 единицы вниз.

Поскольку $x^{3,7} \ge 0$, то $f(x) = x^{3,7} - 2 \ge 0 - 2 = -2$.

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, большие или равные -2.

Ответ: $E(f) = [-2; +\infty)$.

4)

Дано:

Функция $f(x) = \frac{1}{x^5} + \frac{1}{7}$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^5 \ne 0$, откуда $x \ne 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = \frac{1}{x^5}$. Поскольку показатель степени 5 нечетный, знак $x^5$ совпадает со знаком $x$.

Если $x > 0$, то $x^5 > 0$, и $g(x) = \frac{1}{x^5} > 0$. При $x \to 0^+$, $g(x) \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $g(x) \to 0^+$. Значит, на интервале $(0; +\infty)$ функция $g(x)$ принимает все значения из интервала $(0; +\infty)$.

Если $x < 0$, то $x^5 < 0$, и $g(x) = \frac{1}{x^5} < 0$. При $x \to 0^-$, $g(x) \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $g(x) \to 0^-$. Значит, на интервале $(-\infty; 0)$ функция $g(x)$ принимает все значения из интервала $(-\infty; 0)$.

Объединяя эти два случая, получаем, что множество значений функции $g(x) = \frac{1}{x^5}$ есть $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, то есть все действительные числа, кроме 0.

Функция $f(x)$ получается из функции $g(x)$ сдвигом вдоль оси ординат на $\frac{1}{7}$ единицы вверх.

Это означает, что каждое значение $g(x)$ увеличивается на $\frac{1}{7}$. Если $g(x) \ne 0$, то $f(x) = g(x) + \frac{1}{7} \ne 0 + \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$.

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все действительные числа, кроме $\frac{1}{7}$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; \frac{1}{7}) \cup (\frac{1}{7}; +\infty)$.