Номер 130, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

130. Найдите область определения функции $y = f(x):$

1) $f(x) = \frac{1}{x^2} - 3;$

2) $f(x) = x^{4.5} + 2;$

3) $f(x) = x^{-2.5} + 2;$

4) $f(x) = -\frac{1}{x^3} + 4.$

1) $f(x) = \frac{1}{x^2} - 3$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Данная функция содержит дробь $\frac{1}{x^2}$, знаменатель которой не может быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 = 0$

$x = 0$

Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

В виде интервала это записывается как $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) $f(x) = x^{4,5} + 2$

Это степенная функция с нецелым показателем степени. Представим показатель в виде несократимой обыкновенной дроби: $4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$.

Функция имеет вид $f(x) = x^{\frac{9}{2}} + 2$.

Степенная функция с дробным показателем $a = \frac{p}{q}$, где дробь несократима и знаменатель $q$ — четное число, определена только для неотрицательных значений основания.

В нашем случае показатель равен $\frac{9}{2}$, его знаменатель $q=2$ — четное число. Следовательно, основание степени $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел.

В виде интервала это записывается как $[0; +\infty)$.

Ответ: $[0; +\infty)$.

3) $f(x) = x^{-2,5} + 2$

Это степенная функция с отрицательным нецелым показателем степени. Представим показатель в виде несократимой обыкновенной дроби: $-2,5 = -\frac{25}{10} = -\frac{5}{2}$.

Функция имеет вид $f(x) = x^{-\frac{5}{2}} + 2$.

Из-за отрицательного показателя функцию можно переписать как $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} + 2$.

Здесь действуют два ограничения:

1. Для степенной функции с дробным показателем $\frac{5}{2}$ (знаменатель $q=2$ — четное число) основание должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби $x^{\frac{5}{2}}$ не должен быть равен нулю. Условие $x^{\frac{5}{2}} \neq 0$ означает, что $x \neq 0$.

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем строгое неравенство $x > 0$.

Таким образом, область определения функции — это все положительные действительные числа.

В виде интервала это записывается как $(0; +\infty)$.

Ответ: $(0; +\infty)$.

4) $f(x) = -\frac{1}{x^3} + 4$

Данная функция содержит дробь $-\frac{1}{x^3}$, знаменатель которой не может быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^3 = 0$

$x = 0$

Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

В виде интервала это записывается как $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.