Номер 129, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

129. Перечислите свойства функции $y = f(x)$ по данному графику (рис. 23):

1 $y = -\frac{1}{x^3} + 2$

2 $y = \frac{1}{x^2} - 4$

Рис. 23

1. Свойства функции $y = -\frac{1}{x^3} + 2$ по данному графику:

1. Область определения. Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель $x^3$ не равен нулю. Таким образом, $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений. Выражение $-\frac{1}{x^3}$ может принимать любое действительное значение, кроме нуля. Следовательно, функция $y = -\frac{1}{x^3} + 2$ может принимать любое значение, кроме 2. Область значений: $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

3. Четность/нечетность. Проверим функцию на четность: $f(-x) = -\frac{1}{(-x)^3} + 2 = \frac{1}{x^3} + 2$. Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

4. Нули функции. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $y=0$: $0 = -\frac{1}{x^3} + 2 \Rightarrow \frac{1}{x^3} = 2 \Rightarrow x^3 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$.

5. Промежутки знакопостоянства.$y > 0$ при $-\frac{1}{x^3} + 2 > 0 \Rightarrow 2 > \frac{1}{x^3}$. Это неравенство выполняется при $x < 0$ и при $x > \sqrt[3]{1/2}$. Таким образом, $y > 0$ на $x \in (-\infty; 0) \cup (\sqrt[3]{1/2}; +\infty)$.$y < 0$ при $0 < x < \sqrt[3]{1/2}$.

6. Промежутки монотонности. Найдем производную функции: $y' = \left(-\frac{1}{x^3} + 2\right)' = (-x^{-3} + 2)' = 3x^{-4} = \frac{3}{x^4}$. Так как $x^4 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' > 0$ всегда. Следовательно, функция возрастает на всем протяжении своей области определения, то есть на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

7. Экстремумы. Так как производная нигде не обращается в нуль, у функции нет точек экстремума.

8. Асимптоты.Вертикальная асимптота: $x=0$, так как при $x \to 0$ функция стремится к бесконечности.Горизонтальная асимптота: $y=2$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \left(-\frac{1}{x^3} + 2\right) = 0 + 2 = 2$.

Ответ: Свойства функции $y = -\frac{1}{x^3} + 2$: область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$; функция общего вида; нуль функции при $x = \sqrt[3]{1/2}$; $y>0$ на $(-\infty; 0) \cup (\sqrt[3]{1/2}; +\infty)$, $y<0$ на $(0; \sqrt[3]{1/2})$; возрастает на всей области определения; экстремумов нет; асимптоты $x=0$ и $y=2$.

2. Свойства функции $y = \frac{1}{x^2} - 4$ по данному графику:

1. Область определения. Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель $x^2$ не равен нулю. Таким образом, $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений. Так как $x^2 > 0$ для всех $x \neq 0$, то $\frac{1}{x^2} > 0$. Следовательно, $y = \frac{1}{x^2} - 4 > -4$. Область значений: $E(f) = (-4; +\infty)$.

3. Четность/нечетность. Проверим функцию на четность: $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} - 4 = \frac{1}{x^2} - 4 = f(x)$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

4. Нули функции. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $y=0$: $0 = \frac{1}{x^2} - 4 \Rightarrow \frac{1}{x^2} = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{2}$.

5. Промежутки знакопостоянства.$y > 0$ при $\frac{1}{x^2} - 4 > 0 \Rightarrow x^2 < \frac{1}{4} \Rightarrow -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ (и $x \neq 0$). Таким образом, $y > 0$ на $x \in (-1/2; 0) \cup (0; 1/2)$.$y < 0$ при $x < -1/2$ или $x > 1/2$. Таким образом, $y < 0$ на $x \in (-\infty; -1/2) \cup (1/2; +\infty)$.

6. Промежутки монотонности. Найдем производную функции: $y' = \left(\frac{1}{x^2} - 4\right)' = (x^{-2} - 4)' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$. При $x > 0$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает на $(0; +\infty)$.При $x < 0$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на $(-\infty; 0)$.

7. Экстремумы. Так как производная нигде не обращается в нуль, у функции нет точек экстремума.

8. Асимптоты.Вертикальная асимптота: $x=0$.Горизонтальная асимптота: $y=-4$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x^2} - 4\right) = 0 - 4 = -4$.

Ответ: Свойства функции $y = \frac{1}{x^2} - 4$: область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений $E(f) = (-4; +\infty)$; функция четная; нули функции при $x = \pm 1/2$; $y>0$ на $(-1/2; 0) \cup (0; 1/2)$, $y<0$ на $(-\infty; -1/2) \cup (1/2; +\infty)$; возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$; экстремумов нет; асимптоты $x=0$ и $y=-4$.