Вопросы, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Может ли множество значений функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = \frac{1}{x^3}$ быть одинаковым? Ответ обоснуйте.

1. Назовите виды степенной функции в зависимости от показателя. Приведите примеры.

2. Охарактеризуйте функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$, графики которых расположены на промежутке $[0; +\infty)$.

3. Чем отличаются области определений функций $y = x^{-2,5}$ и $y = x^{2,5}$? Ответ обоснуйте.

?

Нет, множество значений этих функций не может быть одинаковым.

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x^2}$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x = 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Так как $x^2$ всегда неотрицательно, а в данном случае строго больше нуля ($x^2 > 0$ при $x \neq 0$), то значение дроби $\frac{1}{x^2}$ всегда будет положительным. Таким образом, множество значений (область значений) этой функции $E(y) = (0; +\infty)$.

Теперь рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x^3}$. Область определения этой функции также $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Однако, в отличие от $x^2$, выражение $x^3$ может принимать как положительные значения (при $x > 0$), так и отрицательные (при $x < 0$). Соответственно, функция $y = \frac{1}{x^3}$ может принимать любые значения, кроме нуля, так как дробь не может быть равна нулю, если числитель не равен нулю. Множество значений этой функции $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Сравнивая множества значений $(0; +\infty)$ и $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, мы видим, что они не совпадают.

Ответ: Нет, множества значений функций не одинаковы. Для функции $y = \frac{1}{x^2}$ множество значений — это все положительные числа $(0; +\infty)$, а для функции $y = \frac{1}{x^3}$ — это все действительные числа, кроме нуля $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

1. Назовите виды степенной функции в зависимости от показателя. Приведите примеры.

Степенная функция имеет вид $y = x^p$, где $p$ — действительное число. Свойства функции зависят от показателя $p$. Основные виды:

1. Показатель — натуральное чётное число ($p = 2n, n \in \mathbb{N}$). Функция чётная, её график симметричен относительно оси ординат. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$. Пример: $y = x^2, y = x^4$.

2. Показатель — натуральное нечётное число ($p = 2n-1, n \in \mathbb{N}$). Функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат. Область определения и область значений — все действительные числа, $D(y) = E(y) = (-\infty; +\infty)$. Пример: $y = x^3, y = x^5$.

3. Показатель — целое отрицательное чётное число ($p = -2n, n \in \mathbb{N}$). Функция чётная. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Пример: $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

4. Показатель — целое отрицательное нечётное число ($p = -(2n-1), n \in \mathbb{N}$). Функция нечётная. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Пример: $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.

5. Показатель — положительное нецелое число ($p > 0, p \notin \mathbb{Z}$). Функция, как правило, рассматривается для $x \ge 0$. На этом множестве область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$. Пример: $y = x^{1/2} = \sqrt{x}$.

6. Показатель — отрицательное нецелое число ($p < 0, p \notin \mathbb{Z}$). Функция рассматривается для $x > 0$. На этом множестве область определения $D(y) = (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Пример: $y = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

7. Показатель — иррациональное число. Функция определяется для $x \ge 0$ (если $p > 0$) или $x > 0$ (если $p < 0$). Пример: $y = x^{\sqrt{2}}$.

Ответ: Виды степенной функции классифицируются по показателю степени: натуральный (чётный и нечётный), целый отрицательный (чётный и нечётный), дробный/нецелый (положительный и отрицательный) и иррациональный. Примеры для каждого вида приведены выше.

2. Охарактеризуйте функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$, графики которых расположены на промежутке $[0; +\infty)$.

Характеристика функции $y = x^2$ на промежутке $[0; +\infty)$:

Это степенная функция с показателем 2. Её свойства на данном промежутке: 1) Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$. 2) Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. 3) Нули функции: $y=0$ при $x=0$. 4) Монотонность: функция строго возрастает. 5) Выпуклость: график выпуклый вниз (вогнутый). 6) График — ветвь параболы с вершиной в точке $(0;0)$.

Характеристика функции $y = \sqrt{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$:

Это степенная функция $y=x^{1/2}$. Её свойства: 1) Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$. 2) Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. 3) Нули функции: $y=0$ при $x=0$. 4) Монотонность: функция строго возрастает. 5) Выпуклость: график выпуклый вверх (выпуклый). 6) График — ветвь параболы, симметричной параболе $y=x^2$ относительно прямой $y=x$.

Сравнение и взаимное расположение:

Функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$ являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой $y = x$. Обе функции проходят через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$. На интервале $(0; 1)$ график $y = x^2$ лежит ниже графика $y = \sqrt{x}$. На интервале $(1; +\infty)$ график $y = x^2$ лежит выше графика $y = \sqrt{x}$.

Ответ: Характеристики функций и их сравнение приведены выше. Ключевым свойством является их взаимная обратность на данном промежутке, что определяет симметрию их графиков относительно прямой $y=x$, как показано на рисунке.

3. Чем отличаются области определений функций $y = x^{-2,5}$ и $y = x^{2,5}$? Ответ обоснуйте.

Для определения отличий проанализируем область определения каждой функции.

Функция $y = x^{2,5}$ может быть записана в виде $y = x^{5/2} = \sqrt{x^5}$. Для того чтобы это выражение имело смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^5 \ge 0$. Это неравенство выполняется для всех $x \ge 0$. Следовательно, область определения функции $y = x^{2,5}$ — это промежуток $[0; +\infty)$.

Функция $y = x^{-2,5}$ из-за отрицательного показателя степени является обратной величиной: $y = \frac{1}{x^{2,5}} = \frac{1}{x^{5/2}} = \frac{1}{\sqrt{x^5}}$. Здесь, как и в предыдущем случае, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $x^5 \ge 0$, то есть $x \ge 0$. Однако, так как выражение находится в знаменателе, он не должен быть равен нулю: $\sqrt{x^5} \neq 0$, что означает $x^5 \neq 0$, и, следовательно, $x \neq 0$. Объединяя два условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем строгое неравенство $x > 0$. Таким образом, область определения функции $y = x^{-2,5}$ — это промежуток $(0; +\infty)$.

Следовательно, области определения отличаются одной точкой: $x=0$.

Ответ: Области определения данных функций отличаются точкой $x=0$. Для функции $y = x^{2,5}$ область определения — $[0; +\infty)$, а для функции $y = x^{-2,5}$ — $(0; +\infty)$. Это различие обусловлено тем, что для второй функции значение $x=0$ недопустимо, так как оно приводит к делению на ноль.