Номер 120, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

120. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} \sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 4, \\ 4\sqrt{x} - \sqrt{y} = 3; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + 5\sqrt[3]{y} = 4, \\ 2\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = -3; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 5\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 7, \\ 6\sqrt{x} - 5\sqrt{y} = 1; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 3\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y} = -2, \\ 7\sqrt[3]{x} - 4\sqrt[3]{y} = -22. \end{cases}$

1)

Дано:

$$\begin{cases}\sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 4 \\4\sqrt{x} - \sqrt{y} = 3\end{cases}$$

Найти:

$x, y$

Решение:

Для решения системы введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Так как подкоренные выражения не могут быть отрицательными, $x \ge 0$ и $y \ge 0$, следовательно, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

После замены исходная система примет вид линейной системы относительно переменных $a$ и $b$:

$$\begin{cases}a + 3b = 4 \\4a - b = 3\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $b$ через $a$: $b = 4a - 3$.

Подставим полученное выражение для $b$ в первое уравнение системы:

$a + 3(4a - 3) = 4$

$a + 12a - 9 = 4$

$13a = 13$

$a = 1$

Теперь найдем значение $b$, подставив $a=1$ в выражение для $b$:

$b = 4(1) - 3 = 1$

Мы получили $a = 1$ и $b = 1$. Оба значения неотрицательны, что соответствует условиям замены.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$\sqrt{x} = a = 1 \implies x = 1^2 = 1$

$\sqrt{y} = b = 1 \implies y = 1^2 = 1$

Проверим, является ли пара $(1; 1)$ решением исходной системы:

$\sqrt{1} + 3\sqrt{1} = 1 + 3 = 4$

$4\sqrt{1} - \sqrt{1} = 4 - 1 = 3$

Оба уравнения верны.

Ответ: $(1; 1)$.

2)

Дано:

$$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[3]{y} = 4 \\2\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = -3\end{cases}$$

Найти:

$x, y$

Решение:

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Кубические корни определены для любых действительных чисел, поэтому ограничений на знаки $a$ и $b$ нет.

Система уравнений в новых переменных:

$$\begin{cases}a + 5b = 4 \\2a - b = -3\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $b$ через $a$: $b = 2a + 3$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$a + 5(2a + 3) = 4$

$a + 10a + 15 = 4$

$11a = -11$

$a = -1$

Найдем $b$, подставив значение $a = -1$:

$b = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$

Выполним обратную замену:

$\sqrt[3]{x} = a = -1 \implies x = (-1)^3 = -1$

$\sqrt[3]{y} = b = 1 \implies y = 1^3 = 1$

Проверим найденное решение $(x, y) = (-1, 1)$:

$\sqrt[3]{-1} + 5\sqrt[3]{1} = -1 + 5(1) = 4$

$2\sqrt[3]{-1} - \sqrt[3]{1} = 2(-1) - 1 = -3$

Оба уравнения верны.

Ответ: $(-1; 1)$.

3)

Дано:

$$\begin{cases}5\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 7 \\6\sqrt{x} - 5\sqrt{y} = 1\end{cases}$$

Найти:

$x, y$

Решение:

Введем замену переменных: $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Условия: $x \ge 0, y \ge 0$, значит $a \ge 0, b \ge 0$.

Система примет вид:

$$\begin{cases}5a + 2b = 7 \\6a - 5b = 1\end{cases}$$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными числами:

$$\begin{cases}5(5a + 2b) = 5 \cdot 7 \\2(6a - 5b) = 2 \cdot 1\end{cases}\implies\begin{cases}25a + 10b = 35 \\12a - 10b = 2\end{cases}$$

Сложим почленно уравнения полученной системы:

$(25a + 12a) + (10b - 10b) = 35 + 2$

$37a = 37$

$a = 1$

Подставим $a=1$ в первое уравнение системы $5a + 2b = 7$:

$5(1) + 2b = 7$

$5 + 2b = 7$

$2b = 2$

$b = 1$

Значения $a=1, b=1$ удовлетворяют условиям $a \ge 0, b \ge 0$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = 1 \implies x = 1^2 = 1$

$\sqrt{y} = 1 \implies y = 1^2 = 1$

Проверка:

$5\sqrt{1} + 2\sqrt{1} = 5 + 2 = 7$

$6\sqrt{1} - 5\sqrt{1} = 6 - 5 = 1$

Оба уравнения верны.

Ответ: $(1; 1)$.

4)

Дано:

$$\begin{cases}3\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y} = -2 \\7\sqrt[3]{x} - 4\sqrt[3]{y} = -22\end{cases}$$

Найти:

$x, y$

Решение:

Введем замену переменных: $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.

Система уравнений в новых переменных:

$$\begin{cases}3a + 2b = -2 \\7a - 4b = -22\end{cases}$$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными:

$$\begin{cases}2(3a + 2b) = 2 \cdot (-2) \\7a - 4b = -22\end{cases}\implies\begin{cases}6a + 4b = -4 \\7a - 4b = -22\end{cases}$$

Сложим уравнения полученной системы:

$(6a + 7a) + (4b - 4b) = -4 + (-22)$

$13a = -26$

$a = -2$

Подставим $a=-2$ в первое уравнение системы $3a + 2b = -2$:

$3(-2) + 2b = -2$

$-6 + 2b = -2$

$2b = 4$

$b = 2$

Выполним обратную замену:

$\sqrt[3]{x} = a = -2 \implies x = (-2)^3 = -8$

$\sqrt[3]{y} = b = 2 \implies y = 2^3 = 8$

Проверка:

$3\sqrt[3]{-8} + 2\sqrt[3]{8} = 3(-2) + 2(2) = -6 + 4 = -2$

$7\sqrt[3]{-8} - 4\sqrt[3]{8} = 7(-2) - 4(2) = -14 - 8 = -22$

Оба уравнения верны.

Ответ: $(-8; 8)$.