Номер 115, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите уравнения (115–119):

115.1) $ \sqrt{x+2} = 4 $;

2) $ \sqrt{x^2-28} = 6 $;

3) $ \sqrt[3]{3-x^2} = -1 $;

4) $ \sqrt[4]{x^3-11} = 2 $.

1) $\sqrt{x+2} = 4$

Решение:

Чтобы решить данное иррациональное уравнение, необходимо возвести обе его части в квадрат. Это позволит избавиться от знака квадратного корня. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.

$(\sqrt{x+2})^2 = 4^2$

$x+2 = 16$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 16 - 2$

$x = 14$

Найденный корень $x=14$ удовлетворяет условию ОДЗ ($14 \ge -2$). Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt{14+2} = \sqrt{16} = 4$

$4 = 4$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: $14$.

2) $\sqrt{x^2 - 28} = 6$

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня. ОДЗ: $x^2 - 28 \ge 0$, то есть $x^2 \ge 28$.

$(\sqrt{x^2 - 28})^2 = 6^2$

$x^2 - 28 = 36$

Перенесем свободный член в правую часть и решим полученное неполное квадратное уравнение:

$x^2 = 36 + 28$

$x^2 = 64$

$x = \pm\sqrt{64}$

$x_1 = 8$, $x_2 = -8$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Для $x=8$, $8^2 = 64$, что больше $28$. Для $x=-8$, $(-8)^2 = 64$, что также больше $28$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Проверим подстановкой в исходное уравнение:

При $x=8$: $\sqrt{8^2 - 28} = \sqrt{64-28} = \sqrt{36} = 6$. Верно.

При $x=-8$: $\sqrt{(-8)^2 - 28} = \sqrt{64-28} = \sqrt{36} = 6$. Верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-8; 8$.

3) $\sqrt[3]{3 - x^2} = -1$

Решение:

Для избавления от кубического корня возведем обе части уравнения в третью степень. Так как корень нечетной степени, ОДЗ не имеет ограничений ($x$ — любое действительное число), и посторонние корни при возведении в нечетную степень не появляются.

$(\sqrt[3]{3 - x^2})^3 = (-1)^3$

$3 - x^2 = -1$

Решим полученное квадратное уравнение:

$-x^2 = -1 - 3$

$-x^2 = -4$

$x^2 = 4$

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Проверка:

При $x=2$: $\sqrt[3]{3 - 2^2} = \sqrt[3]{3-4} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Верно.

При $x=-2$: $\sqrt[3]{3 - (-2)^2} = \sqrt[3]{3-4} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Верно.

Оба корня подходят.

Ответ: $-2; 2$.

4) $\sqrt[4]{x^3 - 11} = 2$

Решение:

Возведем обе части уравнения в четвертую степень. ОДЗ: $x^3 - 11 \ge 0$, то есть $x^3 \ge 11$.

$(\sqrt[4]{x^3 - 11})^4 = 2^4$

$x^3 - 11 = 16$

Решим полученное уравнение относительно $x^3$:

$x^3 = 16 + 11$

$x^3 = 27$

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{27}$

$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $3^3 = 27$, и $27 \ge 11$. Условие выполняется. Подставим корень в исходное уравнение для проверки:

$\sqrt[4]{3^3 - 11} = \sqrt[4]{27 - 11} = \sqrt[4]{16} = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: $3$.