Страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Почему при решении иррациональных уравнений появляются посторонние корни?

2. Обязательно ли проводить проверку для корней иррационального уравнения? Ответ обоснуйте.

3. Как определяются посторонние корни иррационального уравнения в случае, когда известно множество допустимых значений?

1. Почему при решении иррациональных уравнений появляются посторонние корни?

Посторонние корни при решении иррациональных уравнений появляются из-за использования неэквивалентных (неравносильных) преобразований. Основным таким преобразованием является возведение обеих частей уравнения в чётную степень (например, в квадрат).

Рассмотрим уравнение вида $f(x) = g(x)$. Если мы возводим его в квадрат, мы получаем уравнение $f^2(x) = g^2(x)$. Любой корень первого уравнения будет являться корнем второго, но не наоборот. Уравнение $f^2(x) = g^2(x)$ равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Таким образом, при решении уравнения-следствия $f^2(x) = g^2(x)$ мы можем найти не только корни исходного уравнения, но и корни уравнения $f(x) = -g(x)$, которые для исходного уравнения будут посторонними.

Особенно это важно для уравнений вида $\sqrt[2n]{A(x)} = B(x)$. По определению арифметического корня, его значение не может быть отрицательным, поэтому для такого уравнения должно выполняться условие $B(x) \ge 0$. Когда мы возводим обе части в степень $2n$, мы получаем $A(x) = (B(x))^{2n}$. В этом новом уравнении правая часть $(B(x))^{2n}$ всегда неотрицательна, и условие $B(x) \ge 0$ "теряется". В итоге могут появиться корни, для которых $B(x) < 0$.

Пример: Решим уравнение $\sqrt{x+2} = x$.

Возведем обе части в квадрат: $x+2 = x^2$.

Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - x - 2 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь выполним проверку:

• При $x=2$: $\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $x=2$. Получаем верное равенство $2=2$. Значит, $x=2$ — корень уравнения.
• При $x=-1$: $\sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$. Правая часть: $x=-1$. Получаем неверное равенство $1=-1$. Значит, $x=-1$ — посторонний корень.

Посторонний корень $x=-1$ появился, так как он нарушает условие неотрицательности правой части исходного уравнения ($x \ge 0$).

Ответ: Посторонние корни появляются из-за применения неэквивалентных преобразований, в первую очередь — возведения обеих частей уравнения в чётную степень. Это преобразование расширяет множество решений, добавляя корни, которые не удовлетворяют исходному уравнению.

2. Обязательно ли проводить проверку для корней иррационального уравнения? Ответ обоснуйте.

Да, обязательно. Проверка является неотъемлемой частью решения иррационального уравнения.

Обоснование: Как показано в ответе на первый вопрос, основной метод решения иррациональных уравнений — возведение в чётную степень — приводит к уравнению-следствию, которое может иметь больше корней, чем исходное. Эти "лишние" корни называются посторонними. Без проверки невозможно отделить действительные корни от посторонних. Таким образом, отказ от проверки может привести к неверному ответу.

Существует два основных способа проверки:

1. Непосредственная подстановка. Найденные потенциальные корни подставляются в самое начальное, исходное уравнение. Те значения, которые обращают уравнение в верное числовое равенство, являются корнями.
2. Проверка с помощью области допустимых значений (ОДЗ) и других ограничений. Перед решением или после него находятся все условия, которым должен удовлетворять корень (например, подкоренные выражения должны быть неотрицательны, правая часть уравнения вида $\sqrt{f(x)}=g(x)$ должна быть неотрицательна). Затем проверяется, удовлетворяют ли найденные потенциальные корни этим условиям. Те, что не удовлетворяют, отбрасываются как посторонние.

В любом случае, какой-либо из видов проверки должен быть выполнен, чтобы гарантировать правильность решения.

Ответ: Да, проверку проводить обязательно. Это необходимо, так как методы решения иррациональных уравнений (в частности, возведение в чётную степень) могут приводить к появлению посторонних корней, которые нужно отсеять.

3. Как определяются посторонние корни иррационального уравнения в случае, когда известно множество допустимых значений?

Если множество допустимых значений (ОДЗ) для иррационального уравнения уже определено, его используют для отсеивания посторонних корней. ОДЗ — это множество всех значений переменной, при которых все выражения, входящие в уравнение, имеют смысл. Для иррациональных уравнений это, в первую очередь, условие неотрицательности подкоренных выражений для корней чётной степени.

Алгоритм определения посторонних корней с использованием ОДЗ выглядит так:

1. Найти ОДЗ, решив систему неравенств, вытекающих из условий существования всех выражений в уравнении (например, $f(x) \ge 0$ для каждого выражения вида $\sqrt[2n]{f(x)}$).
2. Решить иррациональное уравнение с помощью преобразований (например, возведением в степень) и найти все его потенциальные корни.
3. Проверить каждый из найденных потенциальных корней на принадлежность к ОДЗ.
4. Те корни, которые принадлежат ОДЗ, являются действительными решениями уравнения. Те корни, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними и отбрасываются.

Важно отметить, что иногда одного лишь ОДЗ недостаточно. Например, для уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$ ОДЗ определяется условием $f(x) \ge 0$. Но, как упоминалось ранее, есть еще одно важное условие: $g(x) \ge 0$. Поэтому для отсеивания посторонних корней нужно проверять выполнение всех необходимых условий, а не только формального ОДЗ.

Пример: $\sqrt{x^2-9}=x-4$.

1. Находим ОДЗ: $x^2-9 \ge 0 \implies (x-3)(x+3) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$. Также учтем условие $x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$. Объединив условия, получаем итоговое ограничение для корней: $x \ge 4$.

2. Решаем уравнение: возводим в квадрат $x^2-9 = (x-4)^2 \implies x^2-9 = x^2-8x+16$.

$8x = 25 \implies x = \frac{25}{8} = 3.125$.

3. Проверяем корень $x=3.125$ на соответствие ограничению $x \ge 4$.

$3.125 < 4$, следовательно, найденный корень не удовлетворяет условию. Он является посторонним. Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Посторонние корни определяются путем проверки всех найденных потенциальных решений на принадлежность множеству допустимых значений (ОДЗ) и выполнения других необходимых условий (например, неотрицательности части уравнения). Если корень не удовлетворяет этим условиям, он считается посторонним и исключается из ответа.

Решите уравнения (115–119):

115.1) $ \sqrt{x+2} = 4 $;

2) $ \sqrt{x^2-28} = 6 $;

3) $ \sqrt[3]{3-x^2} = -1 $;

4) $ \sqrt[4]{x^3-11} = 2 $.

1) $\sqrt{x+2} = 4$

Решение:

Чтобы решить данное иррациональное уравнение, необходимо возвести обе его части в квадрат. Это позволит избавиться от знака квадратного корня. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.

$(\sqrt{x+2})^2 = 4^2$

$x+2 = 16$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 16 - 2$

$x = 14$

Найденный корень $x=14$ удовлетворяет условию ОДЗ ($14 \ge -2$). Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt{14+2} = \sqrt{16} = 4$

$4 = 4$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: $14$.

2) $\sqrt{x^2 - 28} = 6$

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня. ОДЗ: $x^2 - 28 \ge 0$, то есть $x^2 \ge 28$.

$(\sqrt{x^2 - 28})^2 = 6^2$

$x^2 - 28 = 36$

Перенесем свободный член в правую часть и решим полученное неполное квадратное уравнение:

$x^2 = 36 + 28$

$x^2 = 64$

$x = \pm\sqrt{64}$

$x_1 = 8$, $x_2 = -8$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Для $x=8$, $8^2 = 64$, что больше $28$. Для $x=-8$, $(-8)^2 = 64$, что также больше $28$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Проверим подстановкой в исходное уравнение:

При $x=8$: $\sqrt{8^2 - 28} = \sqrt{64-28} = \sqrt{36} = 6$. Верно.

При $x=-8$: $\sqrt{(-8)^2 - 28} = \sqrt{64-28} = \sqrt{36} = 6$. Верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-8; 8$.

3) $\sqrt[3]{3 - x^2} = -1$

Решение:

Для избавления от кубического корня возведем обе части уравнения в третью степень. Так как корень нечетной степени, ОДЗ не имеет ограничений ($x$ — любое действительное число), и посторонние корни при возведении в нечетную степень не появляются.

$(\sqrt[3]{3 - x^2})^3 = (-1)^3$

$3 - x^2 = -1$

Решим полученное квадратное уравнение:

$-x^2 = -1 - 3$

$-x^2 = -4$

$x^2 = 4$

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Проверка:

При $x=2$: $\sqrt[3]{3 - 2^2} = \sqrt[3]{3-4} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Верно.

При $x=-2$: $\sqrt[3]{3 - (-2)^2} = \sqrt[3]{3-4} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Верно.

Оба корня подходят.

Ответ: $-2; 2$.

4) $\sqrt[4]{x^3 - 11} = 2$

Решение:

Возведем обе части уравнения в четвертую степень. ОДЗ: $x^3 - 11 \ge 0$, то есть $x^3 \ge 11$.

$(\sqrt[4]{x^3 - 11})^4 = 2^4$

$x^3 - 11 = 16$

Решим полученное уравнение относительно $x^3$:

$x^3 = 16 + 11$

$x^3 = 27$

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{27}$

$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $3^3 = 27$, и $27 \ge 11$. Условие выполняется. Подставим корень в исходное уравнение для проверки:

$\sqrt[4]{3^3 - 11} = \sqrt[4]{27 - 11} = \sqrt[4]{16} = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: $3$.

116.1) $\sqrt{x+2} = x;$

2) $\sqrt{4x-3} = x;$

3) $\sqrt[3]{1-x^3} = 1-x;$

4) $\sqrt[4]{x^4+x^2-1} = x.$

1) $\sqrt{x+2} = x$

Решение
Это иррациональное уравнение. Для его решения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.
2. Арифметический квадратный корень (результат извлечения корня) должен быть неотрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{x+2})^2 = x^2$
$x+2 = x^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а их сумма равна 1. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Также можно найти корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$.
$x_1 = \frac{1+3}{2} = 2$
$x_2 = \frac{1-3}{2} = -1$
Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 0$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, поэтому является посторонним корнем.
Проверим корень $x=2$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{2+2} = 2$
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$
Равенство верное.
Ответ: 2

2) $\sqrt{4x-3} = x$

Решение
Найдем ОДЗ:
1. $4x-3 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge 3 \Rightarrow x \ge \frac{3}{4}$.
2. $x \ge 0$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{3}{4}$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{4x-3})^2 = x^2$
$4x-3 = x^2$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{3}{4}$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию ($1 \ge \frac{3}{4}$).
Корень $x_2 = 3$ также удовлетворяет условию ($3 \ge \frac{3}{4}$).
Проверим оба корня подстановкой:
Для $x=1$: $\sqrt{4(1)-3} = 1 \Rightarrow \sqrt{1} = 1 \Rightarrow 1=1$. Верно.
Для $x=3$: $\sqrt{4(3)-3} = 3 \Rightarrow \sqrt{9} = 3 \Rightarrow 3=3$. Верно.
Ответ: 1; 3

3) $\sqrt[3]{1-x^3} = 1-x$

Решение
Поскольку корень нечетной степени (кубический), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{1-x^3})^3 = (1-x)^3$
$1-x^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3$
Прибавим $x^3$ к обеим частям уравнения:
$1 = 1 - 3x + 3x^2$
Вычтем 1 из обеих частей:
$0 = -3x + 3x^2$
$3x^2 - 3x = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(x-1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$
$x-1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$
Проверим найденные корни:
Для $x=0$: $\sqrt[3]{1-0^3} = 1-0 \Rightarrow \sqrt[3]{1} = 1 \Rightarrow 1=1$. Верно.
Для $x=1$: $\sqrt[3]{1-1^3} = 1-1 \Rightarrow \sqrt[3]{0} = 0 \Rightarrow 0=0$. Верно.
Ответ: 0; 1

4) $\sqrt[4]{x^4+x^2-1} = x$

Решение
Найдем ОДЗ:
1. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x^4+x^2-1 \ge 0$.
2. Результат извлечения корня четной степени неотрицателен: $x \ge 0$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x^4+x^2-1 \ge 0$ и $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$(\sqrt[4]{x^4+x^2-1})^4 = x^4$
$x^4+x^2-1 = x^4$
Вычтем $x^4$ из обеих частей:
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.
Условие $x \ge 0$ сразу отсекает корень $x_2 = -1$.
Проверим корень $x_1 = 1$ на соответствие ОДЗ:
1. $1 \ge 0$. Верно.
2. $1^4+1^2-1 \ge 0 \Rightarrow 1+1-1 \ge 0 \Rightarrow 1 \ge 0$. Верно.
Итак, корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.
Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt[4]{1^4+1^2-1} = 1$
$\sqrt[4]{1+1-1} = 1$
$\sqrt[4]{1} = 1$
$1=1$. Верно.
Ответ: 1

117.1) $x + \sqrt{x + 3} = 3;$

2) $\sqrt{2x + 18} - 5 = x;$

3) $\sqrt[3]{x^3 - 8} + 2 = x;$

4) $\sqrt[3]{4x + 3x^2} = x.$

1) $x + \sqrt{x + 3} = 3$

Дано:

$x + \sqrt{x + 3} = 3$

Найти:

$x$

Решение:

Перенесем $x$ в правую часть уравнения, чтобы изолировать радикал:

$\sqrt{x + 3} = 3 - x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 3 \ge 0$, откуда $x \ge -3$. Также правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным: $3 - x \ge 0$, откуда $x \le 3$. Таким образом, ОДЗ: $-3 \le x \le 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + 3})^2 = (3 - x)^2$

$x + 3 = 9 - 6x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($-3 \le x \le 3$):

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $-3 \le 1 \le 3$.

Корень $x_2 = 6$ не удовлетворяет условию $x \le 3$. Следовательно, это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=1$ подстановкой в исходное уравнение:

$1 + \sqrt{1 + 3} = 1 + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$.

$3 = 3$ (верно).

Ответ: $1$.

2) $\sqrt{2x + 18} - 5 = x$

Дано:

$\sqrt{2x + 18} - 5 = x$

Найти:

$x$

Решение:

Изолируем радикал в левой части уравнения:

$\sqrt{2x + 18} = x + 5$

Определим ОДЗ. Выражение под корнем: $2x + 18 \ge 0 \implies 2x \ge -18 \implies x \ge -9$. Правая часть: $x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge -5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x + 18})^2 = (x + 5)^2$

$2x + 18 = x^2 + 10x + 25$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 8x + 7 = 0$

Найдем корни по теореме Виета. Сумма корней равна -8, произведение равно 7. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -7$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -5$):

Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию $-1 \ge -5$.

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию $-7 \ge -5$, значит это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=-1$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(-1) + 18} - 5 = \sqrt{-2 + 18} - 5 = \sqrt{16} - 5 = 4 - 5 = -1$.

$-1 = -1$ (верно).

Ответ: $-1$.

3) $\sqrt[3]{x^3 - 8} + 2 = x$

Дано:

$\sqrt[3]{x^3 - 8} + 2 = x$

Найти:

$x$

Решение:

Изолируем радикал:

$\sqrt[3]{x^3 - 8} = x - 2$

Так как корень кубический, ОДЗ для $x$ — все действительные числа ($x \in R$).

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x^3 - 8})^3 = (x - 2)^3$

$x^3 - 8 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3$

$x^3 - 8 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Упростим уравнение:

$-6x^2 + 12x = 0$

$-6x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

При возведении в нечетную степень посторонние корни не появляются, но сделаем проверку:

Для $x=0$: $\sqrt[3]{0^3 - 8} + 2 = \sqrt[3]{-8} + 2 = -2 + 2 = 0$. $0=0$ (верно).

Для $x=2$: $\sqrt[3]{2^3 - 8} + 2 = \sqrt[3]{8 - 8} + 2 = \sqrt[3]{0} + 2 = 2$. $2=2$ (верно).

Ответ: $0; 2$.

4) $\sqrt[3]{4x + 3x^2} = x$

Дано:

$\sqrt[3]{4x + 3x^2} = x$

Найти:

$x$

Решение:

Корень уже изолирован. ОДЗ: $x \in R$.

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{4x + 3x^2})^3 = x^3$

$4x + 3x^2 = x^3$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^3 - 3x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 3x - 4) = 0$

Получаем, что либо $x_1 = 0$, либо $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$. $\sqrt{D}=5$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{2}$

$x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$

$x_3 = \frac{3 - 5}{2} = -1$

Таким образом, у уравнения три корня: -1, 0 и 4. Сделаем проверку:

Для $x=-1$: $\sqrt[3]{4(-1) + 3(-1)^2} = \sqrt[3]{-4 + 3} = \sqrt[3]{-1} = -1$. $-1=-1$ (верно).

Для $x=0$: $\sqrt[3]{4(0) + 3(0)^2} = \sqrt[3]{0} = 0$. $0=0$ (верно).

Для $x=4$: $\sqrt[3]{4(4) + 3(4)^2} = \sqrt[3]{16 + 48} = \sqrt[3]{64} = 4$. $4=4$ (верно).

Ответ: $-1; 0; 4$.

118.1) $\sqrt{3x+4} = 2-x;$

2) $\sqrt{2x^2-3x+2} = 2x-2;$

3) $\sqrt{7-3x} = 1-x;$

4) $\sqrt{2x^2-5x+4} = 2x+2.$

1) $\sqrt{3x+4} = 2-x$
Данное иррациональное уравнение равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, и квадрат левой части равен квадрату правой:
$\begin{cases} 2-x \ge 0 \\ (\sqrt{3x+4})^2 = (2-x)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$2-x \ge 0 \implies x \le 2$
Решим второе уравнение системы, возведя обе части в квадрат:
$3x+4 = 4 - 4x + x^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - 3x + 4 - 4 = 0$
$x^2 - 7x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x-7) = 0$
Это дает нам два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \le 2$.
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 2$.
Корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет условию, так как $7 > 2$. Следовательно, $x=7$ является посторонним корнем.
Единственным решением является $x=0$.

Ответ: $0$.

2) $\sqrt{2x^2-3x+2} = 2x-2$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 2x-2 \ge 0 \\ 2x^2-3x+2 = (2x-2)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$2x-2 \ge 0 \implies 2x \ge 2 \implies x \ge 1$
Решим второе уравнение:
$2x^2-3x+2 = 4x^2 - 8x + 4$
Приведем подобные члены:
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2-4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
Проверим корни на соответствие условию $x \ge 1$:
Корень $x_1 = 0.5$ не удовлетворяет условию, так как $0.5 < 1$. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \ge 1$.
Единственным решением является $x=2$.

Ответ: $2$.

3) $\sqrt{7-3x} = 1-x$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 1-x \ge 0 \\ 7-3x = (1-x)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$1-x \ge 0 \implies x \le 1$
Решим второе уравнение:
$7-3x = 1 - 2x + x^2$
$x^2 - 2x + 3x + 1 - 7 = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2-4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$
Проверим корни на соответствие условию $x \le 1$:
Корень $x_1 = -3$ удовлетворяет условию, так как $-3 \le 1$.
Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию, так как $2 > 1$. Это посторонний корень.
Единственным решением является $x=-3$.

Ответ: $-3$.

4) $\sqrt{2x^2-5x+4} = 2x+2$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 2x+2 \ge 0 \\ 2x^2-5x+4 = (2x+2)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$2x+2 \ge 0 \implies 2x \ge -2 \implies x \ge -1$
Решим второе уравнение:
$2x^2-5x+4 = 4x^2 + 8x + 4$
$2x^2 + 13x = 0$
$x(2x+13) = 0$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $2x+13=0 \implies x_2 = -13/2 = -6.5$.
Проверим корни на соответствие условию $x \ge -1$:
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию, так как $0 \ge -1$.
Корень $x_2 = -6.5$ не удовлетворяет условию, так как $-6.5 < -1$. Это посторонний корень.
Единственным решением является $x=0$.

Ответ: $0$.