Номер 116, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

116.1) $\sqrt{x+2} = x;$

2) $\sqrt{4x-3} = x;$

3) $\sqrt[3]{1-x^3} = 1-x;$

4) $\sqrt[4]{x^4+x^2-1} = x.$

1) $\sqrt{x+2} = x$

Решение
Это иррациональное уравнение. Для его решения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.
2. Арифметический квадратный корень (результат извлечения корня) должен быть неотрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{x+2})^2 = x^2$
$x+2 = x^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а их сумма равна 1. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Также можно найти корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$.
$x_1 = \frac{1+3}{2} = 2$
$x_2 = \frac{1-3}{2} = -1$
Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 0$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, поэтому является посторонним корнем.
Проверим корень $x=2$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{2+2} = 2$
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$
Равенство верное.
Ответ: 2

2) $\sqrt{4x-3} = x$

Решение
Найдем ОДЗ:
1. $4x-3 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge 3 \Rightarrow x \ge \frac{3}{4}$.
2. $x \ge 0$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{3}{4}$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{4x-3})^2 = x^2$
$4x-3 = x^2$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{3}{4}$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию ($1 \ge \frac{3}{4}$).
Корень $x_2 = 3$ также удовлетворяет условию ($3 \ge \frac{3}{4}$).
Проверим оба корня подстановкой:
Для $x=1$: $\sqrt{4(1)-3} = 1 \Rightarrow \sqrt{1} = 1 \Rightarrow 1=1$. Верно.
Для $x=3$: $\sqrt{4(3)-3} = 3 \Rightarrow \sqrt{9} = 3 \Rightarrow 3=3$. Верно.
Ответ: 1; 3

3) $\sqrt[3]{1-x^3} = 1-x$

Решение
Поскольку корень нечетной степени (кубический), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{1-x^3})^3 = (1-x)^3$
$1-x^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3$
Прибавим $x^3$ к обеим частям уравнения:
$1 = 1 - 3x + 3x^2$
Вычтем 1 из обеих частей:
$0 = -3x + 3x^2$
$3x^2 - 3x = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(x-1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$
$x-1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$
Проверим найденные корни:
Для $x=0$: $\sqrt[3]{1-0^3} = 1-0 \Rightarrow \sqrt[3]{1} = 1 \Rightarrow 1=1$. Верно.
Для $x=1$: $\sqrt[3]{1-1^3} = 1-1 \Rightarrow \sqrt[3]{0} = 0 \Rightarrow 0=0$. Верно.
Ответ: 0; 1

4) $\sqrt[4]{x^4+x^2-1} = x$

Решение
Найдем ОДЗ:
1. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x^4+x^2-1 \ge 0$.
2. Результат извлечения корня четной степени неотрицателен: $x \ge 0$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x^4+x^2-1 \ge 0$ и $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$(\sqrt[4]{x^4+x^2-1})^4 = x^4$
$x^4+x^2-1 = x^4$
Вычтем $x^4$ из обеих частей:
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.
Условие $x \ge 0$ сразу отсекает корень $x_2 = -1$.
Проверим корень $x_1 = 1$ на соответствие ОДЗ:
1. $1 \ge 0$. Верно.
2. $1^4+1^2-1 \ge 0 \Rightarrow 1+1-1 \ge 0 \Rightarrow 1 \ge 0$. Верно.
Итак, корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.
Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt[4]{1^4+1^2-1} = 1$
$\sqrt[4]{1+1-1} = 1$
$\sqrt[4]{1} = 1$
$1=1$. Верно.
Ответ: 1