Номер 112, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

112.1) $\frac{p - q}{\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q}} - \sqrt[3]{pq}$, $p \neq q$;

2) $\frac{\sqrt{p^3} + \sqrt{q^3}}{\sqrt{p} + \sqrt{q}} + \sqrt{pq}$, $p > 0, q > 0$;

3) $\frac{\sqrt{ab^2} - a\sqrt{b}}{(ab)^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{b^3} + \sqrt{a}$, $a > 0, b > 0$;

4) $\frac{\sqrt[3]{a^2 b} - a\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{(ab)}} + \sqrt[3]{a^2}$, $a \neq 0, b \neq 0$.

1)Решение:
Для упрощения выражения $\frac{p-q}{\sqrt[3]{p}-\sqrt[3]{q}} - \sqrt[3]{pq}$ при $p \neq q$, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Представим числитель дроби $p-q$ как разность кубов, положив $a = \sqrt[3]{p}$ и $b = \sqrt[3]{q}$. Тогда $p = a^3$ и $q = b^3$.
$p-q = (\sqrt[3]{p})^3 - (\sqrt[3]{q})^3 = (\sqrt[3]{p}-\sqrt[3]{q})((\sqrt[3]{p})^2 + \sqrt[3]{p}\sqrt[3]{q} + (\sqrt[3]{q})^2) = (\sqrt[3]{p}-\sqrt[3]{q})(\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{pq} + \sqrt[3]{q^2})$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$\frac{(\sqrt[3]{p}-\sqrt[3]{q})(\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{pq} + \sqrt[3]{q^2})}{\sqrt[3]{p}-\sqrt[3]{q}} - \sqrt[3]{pq}$
Поскольку по условию $p \neq q$, то $\sqrt[3]{p} \neq \sqrt[3]{q}$, и знаменатель не равен нулю. Мы можем сократить дробь на общий множитель $(\sqrt[3]{p}-\sqrt[3]{q})$:
$(\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{pq} + \sqrt[3]{q^2}) - \sqrt[3]{pq} = \sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{q^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{q^2}$.

2)Решение:
Упростим выражение $\frac{\sqrt{p^3}+\sqrt{q^3}}{\sqrt{p}+\sqrt{q}} + \sqrt{pq}$ при $p > 0, q > 0$.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Представим числитель дроби $\sqrt{p^3}+\sqrt{q^3}$ как сумму кубов, положив $a = \sqrt{p}$ и $b = \sqrt{q}$.
$\sqrt{p^3}+\sqrt{q^3} = (\sqrt{p})^3 + (\sqrt{q})^3 = (\sqrt{p}+\sqrt{q})((\sqrt{p})^2 - \sqrt{p}\sqrt{q} + (\sqrt{q})^2) = (\sqrt{p}+\sqrt{q})(p - \sqrt{pq} + q)$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{(\sqrt{p}+\sqrt{q})(p - \sqrt{pq} + q)}{\sqrt{p}+\sqrt{q}} + \sqrt{pq}$
Так как $p > 0$ и $q > 0$, то $\sqrt{p}+\sqrt{q} > 0$, и мы можем сократить дробь на $(\sqrt{p}+\sqrt{q})$:
$(p - \sqrt{pq} + q) + \sqrt{pq} = p + q$.
Ответ: $p+q$.

3)Решение:
Упростим выражение $\frac{\sqrt{ab^2} - a\sqrt{b}}{(ab)^{1/2}} - \sqrt{b^3} + \sqrt{a}$ при $a > 0, b > 0$.
Преобразуем каждый член выражения:
$\sqrt{ab^2} = \sqrt{a}\sqrt{b^2} = b\sqrt{a}$ (так как $b > 0$).
$(ab)^{1/2} = \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$.
$\sqrt{b^3} = \sqrt{b^2 \cdot b} = b\sqrt{b}$.
Выражение принимает вид:
$\frac{b\sqrt{a} - a\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} - b\sqrt{b} + \sqrt{a}$
Упростим дробь, разделив почленно числитель на знаменатель:
$\frac{b\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} - \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{b}{\sqrt{b}} - \frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{b} - \sqrt{a}$.
Подставим упрощенную дробь обратно в выражение:
$(\sqrt{b} - \sqrt{a}) - b\sqrt{b} + \sqrt{a} = \sqrt{b} - \sqrt{a} - b\sqrt{b} + \sqrt{a} = \sqrt{b} - b\sqrt{b}$.
Можно вынести общий множитель $\sqrt{b}$ за скобки: $\sqrt{b}(1-b)$.
Ответ: $\sqrt{b}(1-b)$.

4)Решение:
Упростим выражение $\frac{\sqrt[3]{a^2b} - a\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{ab}} + \sqrt[3]{a^2}$ при $a \neq 0, b \neq 0$.
Сначала преобразуем дробь. В числителе можно вынести за скобки общий множитель $\sqrt[3]{b}$:
$\frac{\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{a^2} - a)}{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}$
Так как $b \neq 0$, то $\sqrt[3]{b} \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $\sqrt[3]{b}$:
$\frac{\sqrt[3]{a^2} - a}{\sqrt[3]{a}}$
Теперь разделим почленно числитель на знаменатель:
$\frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a}} - \frac{a}{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[3]{\frac{a^2}{a}} - \frac{(\sqrt[3]{a})^3}{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[3]{a} - (\sqrt[3]{a})^2 = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a^2}$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a^2}) + \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{a}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a}$.