Вопросы, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

❓ 1. Есть ли отличие в преобразованиях рациональных и иррациональных выражений?

1. Есть ли отличие в преобразованиях рациональных и иррациональных выражений?

Да, между преобразованиями рациональных и иррациональных выражений существуют существенные отличия. Хотя оба типа выражений подчиняются общим законам алгебры (таким как распределительный, сочетательный и переместительный), работа с иррациональными выражениями требует применения специфических методов и более тщательного анализа области допустимых значений (ОДЗ).

Ключевые отличия можно свести к двум основным пунктам:

А. Специфические методы преобразований

Преобразования рациональных выражений (алгебраических дробей, где числитель и знаменатель — многочлены, например, $ \frac{x^2-4}{x+3} $) в основном включают:

• Разложение многочленов на множители с последующим сокращением дроби.
• Приведение дробей к общему знаменателю для выполнения сложения и вычитания.
• Выполнение умножения и деления дробей.

Преобразования иррациональных выражений (содержащих переменную под знаком корня, например, $ \sqrt{x-5} $) включают все вышеперечисленные методы, но к ним добавляются уникальные, характерные только для них операции:

• Избавление от иррациональности в знаменателе (или числителе). Это одна из наиболее частых и важных операций. Она заключается в домножении числителя и знаменателя на такое выражение (часто сопряженное), чтобы в знаменателе исчез знак корня.
  Например: $ \frac{5}{\sqrt{a}- \sqrt{b}} = \frac{5(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{5(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b} $
• Вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня.
  Например: $ \sqrt{18x^3} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot x^2 \cdot x} = 3|x|\sqrt{2x} $ при $ x \ge 0 $.
• Использование свойств корней и степеней с дробными показателями, например, приведение корней к одному показателю для их умножения или сравнения.

Б. Область допустимых значений (ОДЗ)

Это второе фундаментальное отличие.

• В рациональных выражениях ОДЗ определяется одним главным условием: знаменатель дроби не должен обращаться в нуль. Это приводит к исключению из ОДЗ отдельных точек.
  Например, для выражения $ \frac{x+2}{x-7} $ ОДЗ: $ x-7 \neq 0 \implies x \neq 7 $.
• В иррациональных выражениях, содержащих корень четной степени (квадратный, четвертой и т.д.), появляется более строгое ограничение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это часто задает ОДЗ в виде целого промежутка (луча или отрезка).
  Например, для выражения $ \sqrt{x-7} $ ОДЗ определяется неравенством $ x-7 \ge 0 \implies x \ge 7 $. Если же корень находится в знаменателе, как в дроби $ \frac{1}{\sqrt{x-7}} $, то условие становится строгим: $ x-7 > 0 \implies x > 7 $.

Таким образом, работа с иррациональными выражениями требует не только знания стандартных алгебраических преобразований, но и уверенного владения свойствами корней, а также постоянного контроля за областью допустимых значений, которая определяется более сложными условиями.

Ответ: Да, отличия есть. Они заключаются как в наборе специфических методов преобразования (для иррациональных выражений характерно избавление от иррациональности, вынесение множителя из-под корня и т.д.), так и в принципиально разных подходах к нахождению области допустимых значений (ОДЗ), которая для иррациональных выражений с корнями четной степени определяется неравенствами, а не только точечными исключениями, как для рациональных.