Номер 103, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Вычислите (103–104):

$\frac{4 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{(2^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}})^2}$;

2) $\frac{(24^{\frac{1}{4}} + 6^{\frac{1}{4}})^2}{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}$;

3) $\frac{(9^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{1}{2}})^2}{3^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{6}} + 1}$;

4) $\frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{4}} + 5^{\frac{1}{2}}}{(5^{\frac{1}{2}} - 5^{\frac{3}{4}})^2}$.

1)

Решение:

Рассмотрим выражение: $ \frac{4 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{\left(2^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}\right)^2} $

Сначала упростим знаменатель. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$ \left(2^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}\right)^2 = \left(2^{\frac{1}{4}}\right)^2 - 2 \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot 8^{\frac{1}{4}} + \left(8^{\frac{1}{4}}\right)^2 $
Упростим каждый член:
$ \left(2^{\frac{1}{4}}\right)^2 = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} $
$ 2 \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot 8^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot (2 \cdot 8)^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 16^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 2 = 4 $
$ \left(8^{\frac{1}{4}}\right)^2 = 8^{\frac{2}{4}} = 8^{\frac{1}{2}} = (4 \cdot 2)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} $
Таким образом, знаменатель равен:
$ 2^{\frac{1}{2}} - 4 + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 4 $

Теперь подставим упрощенный знаменатель обратно в исходное выражение:
$ \frac{4 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 4} $
Вынесем -1 за скобки в знаменателе:
$ \frac{4 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{-(4 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}})} = -1 $

Ответ: -1

2)

Решение:

Рассмотрим выражение: $ \frac{\left(24^{\frac{1}{4}} + 6^{\frac{1}{4}}\right)^2}{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 6^{\frac{1}{2}}} $

Упростим числитель, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$ \left(24^{\frac{1}{4}} + 6^{\frac{1}{4}}\right)^2 = \left(24^{\frac{1}{4}}\right)^2 + 2 \cdot 24^{\frac{1}{4}} \cdot 6^{\frac{1}{4}} + \left(6^{\frac{1}{4}}\right)^2 $
Упростим каждый член:
$ \left(24^{\frac{1}{4}}\right)^2 = 24^{\frac{2}{4}} = 24^{\frac{1}{2}} = (4 \cdot 6)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} $
$ 2 \cdot 24^{\frac{1}{4}} \cdot 6^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot (24 \cdot 6)^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 144^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot (12^2)^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 12^{\frac{2}{4}} = 2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot (4 \cdot 3)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} $
$ \left(6^{\frac{1}{4}}\right)^2 = 6^{\frac{2}{4}} = 6^{\frac{1}{2}} $
Сложив все члены, получаем числитель:
$ 2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 6^{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} $

Теперь подставим упрощенный числитель обратно в исходное выражение:
$ \frac{3 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 6^{\frac{1}{2}}} $
Числитель и знаменатель равны, следовательно, их отношение равно 1.

Ответ: 1

3)

Решение:

Рассмотрим выражение: $ \frac{\left(9^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{1}{2}}\right)^2}{3^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{6}} + 1} $

Сначала преобразуем знаменатель. Заметим, что он похож на формулу полного квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пусть $a = 3^{\frac{1}{6}}$ и $b = 1$. Тогда $a^2 = (3^{\frac{1}{6}})^2 = 3^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{3}}$.
Знаменатель можно записать как: $ \left(3^{\frac{1}{6}}\right)^2 + 2 \cdot 3^{\frac{1}{6}} \cdot 1 + 1^2 = \left(3^{\frac{1}{6}} + 1\right)^2 $

Теперь преобразуем числитель. Сначала упростим выражение в скобках.
$ 9^{\frac{1}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} $
Выражение в скобках: $3^{\frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{2}}$. Приведем степени к общему знаменателю 6: $3^{\frac{4}{6}} + 3^{\frac{3}{6}}$.
Вынесем за скобки общий множитель $3^{\frac{3}{6}} = 3^{\frac{1}{2}}$:
$ 3^{\frac{3}{6}}(3^{\frac{4-3}{6}} + 1) = 3^{\frac{1}{2}}(3^{\frac{1}{6}} + 1) $
Теперь возведем это выражение в квадрат:
$ \left(3^{\frac{1}{2}}\left(3^{\frac{1}{6}} + 1\right)\right)^2 = \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^2 \cdot \left(3^{\frac{1}{6}} + 1\right)^2 = 3 \cdot \left(3^{\frac{1}{6}} + 1\right)^2 $

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{3 \cdot \left(3^{\frac{1}{6}} + 1\right)^2}{\left(3^{\frac{1}{6}} + 1\right)^2} = 3 $

Ответ: 3

4)

Решение:

Рассмотрим выражение: $ \frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{4}} + 5^{\frac{1}{2}}}{\left(5^{\frac{1}{2}} - 5^{\frac{3}{4}}\right)^2} $

Сначала преобразуем числитель. Заметим, что он представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Пусть $a = 1$ и $b = 5^{\frac{1}{4}}$. Тогда $b^2 = (5^{\frac{1}{4}})^2 = 5^{\frac{2}{4}} = 5^{\frac{1}{2}}$.
Числитель можно записать как: $ 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 5^{\frac{1}{4}} + \left(5^{\frac{1}{4}}\right)^2 = \left(1 - 5^{\frac{1}{4}}\right)^2 $

Теперь преобразуем знаменатель. Сначала упростим выражение в скобках.
Приведем степени к общему знаменателю 4: $5^{\frac{2}{4}} - 5^{\frac{3}{4}}$.
Вынесем за скобки общий множитель $5^{\frac{2}{4}} = 5^{\frac{1}{2}}$:
$ 5^{\frac{2}{4}}(1 - 5^{\frac{3-2}{4}}) = 5^{\frac{1}{2}}(1 - 5^{\frac{1}{4}}) $
Теперь возведем это выражение в квадрат:
$ \left(5^{\frac{1}{2}}\left(1 - 5^{\frac{1}{4}}\right)\right)^2 = \left(5^{\frac{1}{2}}\right)^2 \cdot \left(1 - 5^{\frac{1}{4}}\right)^2 = 5 \cdot \left(1 - 5^{\frac{1}{4}}\right)^2 $

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{\left(1 - 5^{\frac{1}{4}}\right)^2}{5 \cdot \left(1 - 5^{\frac{1}{4}}\right)^2} = \frac{1}{5} $

Ответ: $\frac{1}{5}$