Номер 105, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

105. Упростите:

1) $\left(\frac{1}{(a+1)^{\frac{1}{2}}} + (1-a)^{\frac{1}{2}}\right) : \left((1-a^2)^{\frac{1}{2}} + 1\right), -1 < a \le 1;$

2) $\frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{1+a+a^{\frac{1}{2}}} : \frac{1}{1-a^{\frac{3}{2}}}, a \ge 0, a \ne 1.$

1)

Дано:

Выражение $ \left( \frac{1}{(a+1)^{\frac{1}{2}}} + (1-a)^{\frac{1}{2}} \right) : \left( (1-a^2)^{\frac{1}{2}} + 1 \right) $ при $ -1 < a \le 1 $.

Найти:

Упростить данное выражение.

Решение:

Запишем выражение, используя знаки корня вместо степеней с дробным показателем $1/2$. Условие $ -1 < a \le 1 $ гарантирует, что все подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатели не равны нулю.

$ \left( \frac{1}{\sqrt{a+1}} + \sqrt{1-a} \right) : \left( \sqrt{1-a^2} + 1 \right) $

Сначала выполним действие в первых скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $ \sqrt{a+1} $:

$ \frac{1}{\sqrt{a+1}} + \sqrt{1-a} = \frac{1 + \sqrt{1-a} \cdot \sqrt{a+1}}{\sqrt{a+1}} $

Используя свойство корней $ \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy} $, а также формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y)=x^2-y^2 $, получаем:

$ \frac{1 + \sqrt{(1-a)(1+a)}}{\sqrt{a+1}} = \frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1}} $

Теперь выполним деление полученного выражения на вторую скобку:

$ \frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1}} : ( \sqrt{1-a^2} + 1 ) $

Запишем деление в виде дроби:

$ \frac{\frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1}}}{1 + \sqrt{1-a^2}} $

Сократим одинаковые множители $ (1 + \sqrt{1-a^2}) $ в числителе и знаменателе. Этот множитель не равен нулю, так как $ \sqrt{1-a^2} \ge 0 $, следовательно, $ 1 + \sqrt{1-a^2} \ge 1 $.

$ \frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1}} \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{1-a^2}} = \frac{1}{\sqrt{a+1}} $

Выражение также можно записать в виде $ (a+1)^{-\frac{1}{2}} $.

Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{a+1}} $.

2)

Дано:

Выражение $ \frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{1+a+a^{\frac{1}{2}}} : \frac{1}{1-a^{\frac{3}{2}}} $ при $ a \ge 0, a \ne 1 $.

Найти:

Упростить данное выражение.

Решение:

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{1+a+a^{\frac{1}{2}}} \cdot (1-a^{\frac{3}{2}}) $

Знаменатель первой дроби $ 1+a+a^{\frac{1}{2}} $ можно записать как $ 1+a^{\frac{1}{2}}+a $.

Множитель $ (1-a^{\frac{3}{2}}) $ можно разложить по формуле разности кубов $ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) $, где $ x=1 $ и $ y=a^{\frac{1}{2}} $:

$ 1 - a^{\frac{3}{2}} = 1^3 - (a^{\frac{1}{2}})^3 = (1 - a^{\frac{1}{2}})(1^2 + 1 \cdot a^{\frac{1}{2}} + (a^{\frac{1}{2}})^2) = (1 - a^{\frac{1}{2}})(1 + a^{\frac{1}{2}} + a) $

Подставим разложение в исходное выражение:

$ \frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{1+a^{\frac{1}{2}}+a} \cdot (1 - a^{\frac{1}{2}})(1 + a^{\frac{1}{2}} + a) $

Сократим общий множитель $ (1+a^{\frac{1}{2}}+a) $. Этот множитель не равен нулю при $ a \ge 0 $.

После сокращения получим произведение:

$ (1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^{\frac{1}{2}}) $

Это формула разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2-y^2 $:

$ 1^2 - (a^{\frac{1}{2}})^2 = 1 - a $

Упрощение справедливо при заданных ограничениях $ a \ge 0, a \ne 1 $.

Ответ: $ 1-a $.