Номер 98, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

98. Вычислите значение выражения:

1) $320^{\frac{1}{3}} - 2(135)^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot (40)^{\frac{1}{3}};$

2) $\frac{3^{\frac{1}{2}}+1}{3^{\frac{1}{2}}-1} + \frac{3^{\frac{1}{2}}-1}{3^{\frac{1}{2}}+1};$

3) $10 \cdot 0,027^{\frac{1}{3}} - \left(-\frac{1}{5}\right)^{-2} + 4 \cdot 16^{-\frac{1}{2}};$

4) $\frac{1}{1+5^{\frac{1}{3}}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{1-5^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.$

1) $320^{\frac{1}{3}} - 2(135)^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot (40)^{\frac{1}{3}}$

Решение:

Для вычисления значения выражения преобразуем каждый член, вынося из-под знака кубического корня (степени $\frac{1}{3}$) множители, являющиеся точными кубами.

Разложим числа на множители:

$320 = 64 \cdot 5 = 4^3 \cdot 5$

$135 = 27 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5$

$40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$

Теперь упростим каждый член выражения, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$320^{\frac{1}{3}} = (4^3 \cdot 5)^{\frac{1}{3}} = (4^3)^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 4 \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

$(135)^{\frac{1}{3}} = (3^3 \cdot 5)^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

$(40)^{\frac{1}{3}} = (2^3 \cdot 5)^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$4 \cdot 5^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot (3 \cdot 5^{\frac{1}{3}}) + 3 \cdot (2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}) = 4 \cdot 5^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot 5^{\frac{1}{3}} + 6 \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

Вынесем общий множитель $5^{\frac{1}{3}}$ за скобки:

$(4 - 6 + 6) \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 4 \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $4 \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

2) $\frac{3^{\frac{1}{2}} + 1}{3^{\frac{1}{2}} - 1} + \frac{3^{\frac{1}{2}} - 1}{3^{\frac{1}{2}} + 1}$

Решение:

Для удобства введем замену: пусть $a = 3^{\frac{1}{2}}$. Тогда выражение примет вид:

$\frac{a + 1}{a - 1} + \frac{a - 1}{a + 1}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1$ по формуле разности квадратов:

$\frac{(a + 1)^2}{(a - 1)(a + 1)} + \frac{(a - 1)^2}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{(a + 1)^2 + (a - 1)^2}{a^2 - 1}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1$

$(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$

Числитель станет равен:

$(a^2 + 2a + 1) + (a^2 - 2a + 1) = 2a^2 + 2 = 2(a^2+1)$

Таким образом, выражение упрощается до:

$\frac{2(a^2 + 1)}{a^2 - 1}$

Теперь выполним обратную замену. Так как $a = 3^{\frac{1}{2}}$, то $a^2 = (3^{\frac{1}{2}})^2 = 3$.

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$\frac{2(3 + 1)}{3 - 1} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4$

Ответ: $4$

3) $10 \cdot 0,027^{\frac{1}{3}} - (-\frac{1}{5})^{-2} + 4 \cdot 16^{-\frac{1}{2}}$

Решение:

Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности.

Первый член: $10 \cdot 0,027^{\frac{1}{3}}$.

Представим десятичную дробь в виде куба: $0,027 = \frac{27}{1000} = (\frac{3}{10})^3 = 0,3^3$.

Тогда $0,027^{\frac{1}{3}} = (0,3^3)^{\frac{1}{3}} = 0,3$.

Значение первого члена: $10 \cdot 0,3 = 3$.

Второй член: $-(-\frac{1}{5})^{-2}$.

Используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ или $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $(-\frac{1}{5})^{-2} = (-5)^2 = 25$.

Значение второго члена со знаком минус перед ним: $-25$.

Третий член: $4 \cdot 16^{-\frac{1}{2}}$.

Используем свойства степени: $16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$.

Значение третьего члена: $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.

Теперь сложим полученные значения:

$3 - 25 + 1 = -22 + 1 = -21$.

Ответ: $-21$

4) $\frac{1}{1 + 5^{\frac{1}{3}}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{1 - 5^{\frac{1}{3}} + 5^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

Решение:

Для упрощения вычислений введем замену: пусть $x = 5^{\frac{1}{3}}$. Тогда $x^2 = (5^{\frac{1}{3}})^2 = 5^{\frac{2}{3}}$ и $x^3 = (5^{\frac{1}{3}})^3 = 5$.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{1 + x} - \frac{x}{1 - x + x^2} + \frac{x}{3}$

Рассмотрим первые два слагаемых. Их знаменатели $(1+x)$ и $(1-x+x^2)$ являются множителями в формуле суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. В нашем случае $1^3+x^3=(1+x)(1-x+x^2)$.

Приведем первые две дроби к общему знаменателю $1+x^3$:

$\frac{1 \cdot (1 - x + x^2)}{(1+x)(1 - x + x^2)} - \frac{x \cdot (1+x)}{(1+x)(1 - x + x^2)} = \frac{1 - x + x^2 - x(1+x)}{1+x^3}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{1 - x + x^2 - x - x^2}{1+x^3} = \frac{1 - 2x}{1+x^3}$

Теперь выполним обратную замену, подставив $x=5^{\frac{1}{3}}$ и $x^3=5$:

$\frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{1+5} = \frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{6}$

Теперь добавим третье слагаемое из исходного выражения:

$\frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{6} + \frac{1}{3} \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

Приведем второе слагаемое к знаменателю 6:

$\frac{1}{3} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{6}$

Сложим дроби:

$\frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{6} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{6} = \frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$