Номер 93, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

93. 1) $\left(8^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{3}{2}}\right): 8^{\frac{1}{2}};$

2) $\sqrt[3]{100} \cdot \left(\sqrt{2}\right)^{\frac{8}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}};$

3) $81^{0,75} : 8^{\frac{7}{3}};$

4) $\left(\frac{36}{25}\right)^{0,5} \cdot \left(\frac{125}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}.$

1)

Решение. Сначала сгруппируем степени с одинаковым основанием, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$: $(8^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) : 8^{\frac{1}{2}} = (8^{\frac{1}{6}} : 8^{\frac{1}{2}}) \cdot 9^{\frac{3}{2}} = 8^{\frac{1}{6} - \frac{1}{2}} \cdot 9^{\frac{3}{2}} = 8^{-\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$. Далее вычислим значение каждого множителя, представив основания в виде степеней простых чисел ($8=2^3$, $9=3^2$): $8^{-\frac{1}{3}} = (2^3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$ и $9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^3 = 27$. В результате получаем произведение $\frac{1}{2} \cdot 27 = \frac{27}{2} = 13,5$.

Ответ: $13,5$.

2)

Решение. Перейдём от корней к степеням и представим основания в виде степеней простых чисел: $\sqrt[3]{100} = 100^{\frac{1}{3}} = (10^2)^{\frac{1}{3}} = (2^2 \cdot 5^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}$, а $(\sqrt{2})^{\frac{8}{3}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{8}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$. Исходное выражение принимает вид: $(2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}) \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}$. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сложим их показатели, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $(2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{4}{3}}) \cdot (5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}) = 2^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{6}{3}} \cdot 5^{\frac{3}{3}} = 2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$.

Ответ: $20$.

3)

Решение. Сначала представим десятичный показатель $0,75$ в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{4}$. Затем вычислим значение каждого члена выражения, представив основания в виде степеней простых чисел ($81 = 3^4$, $8=2^3$). Делимое: $81^{0,75} = 81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^3 = 27$. Делитель: $8^{\frac{7}{3}} = (2^3)^{\frac{7}{3}} = 2^7 = 128$. Выполним деление: $27 : 128 = \frac{27}{128}$.

Ответ: $\frac{27}{128}$.

4)

Решение. Преобразуем каждый множитель по отдельности. Для первого множителя представим $0,5$ как $\frac{1}{2}$ и применим свойство степени дроби: $(\frac{36}{25})^{0,5} = (\frac{36}{25})^{\frac{1}{2}} = \frac{36^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5}$. Для второго множителя используем свойство отрицательной степени, которое "переворачивает" дробь: $(\frac{125}{27})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{27}{125})^{\frac{1}{3}} = \frac{27^{\frac{1}{3}}}{125^{\frac{1}{3}}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{3}{5}$. Наконец, перемножим полученные результаты: $\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{25}$.

Ответ: $\frac{18}{25}$.