Номер 90, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Глава II. Корни и степени. Степенная функция. Параграф 6. Степень с рациональным показателем - номер 90, страница 46.

Условие.

90. Напишите выражение в виде корня:

1) $3^{1,8}$

2) $2^{1,6}$

3) $6^{-1,5}$

4) $7^{1,2}$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для преобразования выражения со степенью, показатель которой является десятичной дробью, в выражение с корнем, необходимо сначала представить десятичную дробь в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$. Затем используется определение степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a > 0$. Если показатель степени отрицательный, сначала применяется свойство $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

1) $3^{1,8}$
Представим показатель степени $1,8$ в виде обыкновенной дроби: $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.
Используя формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, получаем:
$3^{1,8} = 3^{\frac{9}{5}} = \sqrt[5]{3^9}$.
Данное выражение можно также упростить, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt[5]{3^9} = \sqrt[5]{3^5 \cdot 3^4} = 3\sqrt[5]{3^4} = 3\sqrt[5]{81}$.
Ответ: $\sqrt[5]{3^9}$.

2) $2^{1,6}$
Представим показатель степени $1,6$ в виде обыкновенной дроби: $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.
Используя формулу, получаем:
$2^{1,6} = 2^{\frac{8}{5}} = \sqrt[5]{2^8}$.
Упростим выражение:
$\sqrt[5]{2^8} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 2^3} = 2\sqrt[5]{2^3} = 2\sqrt[5]{8}$.
Ответ: $\sqrt[5]{2^8}$.

3) $6^{-1,5}$
Сначала преобразуем отрицательную степень: $6^{-1,5} = \frac{1}{6^{1,5}}$.
Представим показатель степени $1,5$ в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Преобразуем знаменатель в корень:
$6^{1,5} = 6^{\frac{3}{2}} = \sqrt{6^3}$.
Следовательно, исходное выражение равно: $6^{-1,5} = \frac{1}{\sqrt{6^3}}$.
Упростим корень в знаменателе:
$\sqrt{6^3} = \sqrt{6^2 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$.
Тогда $6^{-1,5} = \frac{1}{6\sqrt{6}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{6^3}}$.

4) $7^{1,2}$
Представим показатель степени $1,2$ в виде обыкновенной дроби: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
Используя формулу, получаем:
$7^{1,2} = 7^{\frac{6}{5}} = \sqrt[5]{7^6}$.
Упростим выражение:
$\sqrt[5]{7^6} = \sqrt[5]{7^5 \cdot 7^1} = 7\sqrt[5]{7}$.
Ответ: $\sqrt[5]{7^6}$.