Номер 97, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Пример. Представим в виде:

97.1) $ \frac{a^{\frac{3}{4}} - a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{1}{2}} - 1}{a - a^{\frac{1}{2}}} $;

2) $ \frac{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{4}}} $;

3) $ \frac{a^{\frac{4}{9}} - b^{\frac{9}{4}}}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{3}{2}}} $;

4) $ \frac{x^{1.2} - y^{2.1}}{x^{0.8} + x^{0.4}y^{0.7} + y^{1.4}} $.

1)

Решение:

Упростим данное выражение $\frac{a^{\frac{3}{4}} - a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{1}{2}} - 1}{a - a^{\frac{1}{2}}}$.

Сначала разложим на множители числитель, сгруппировав слагаемые:

$a^{\frac{3}{4}} - a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{1}{2}} - 1 = (a^{\frac{3}{4}} - a^{\frac{1}{4}}) + (a^{\frac{1}{2}} - 1) = a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{2}} - 1) + 1 \cdot (a^{\frac{1}{2}} - 1) = (a^{\frac{1}{4}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1)$.

Теперь разложим на множители знаменатель:

$a - a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 1)$.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{(a^{\frac{1}{4}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 1)}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - 1)$, при условии, что $a \neq 1$:

$\frac{a^{\frac{1}{4}} + 1}{a^{\frac{1}{2}}}$.

Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{4}} + 1}{a^{\frac{1}{2}}}$.

2)

Решение:

Упростим выражение $\frac{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{4}}}$.

Заметим, что числитель можно представить в виде разности квадратов. Для этого представим $a^{\frac{2}{3}}$ как $(a^{\frac{1}{3}})^2$ и $b^{\frac{1}{2}}$ как $(b^{\frac{1}{4}})^2$.

Числитель: $a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2 = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{4}})$.

Подставим разложенный числитель в исходную дробь:

$\frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{4}})}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{4}}}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{4}})$:

$a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{4}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{4}}$.

3)

Решение:

В условии задачи $\frac{a^{\frac{4}{9}} - b^{\frac{9}{4}}}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{3}{2}}}$, скорее всего, допущена опечатка, так как в данном виде выражение не упрощается с помощью стандартных формул сокращенного умножения. Наиболее вероятная опечатка — в показателях степеней числителя, и выражение должно было иметь вид, позволяющий применить формулу разности квадратов.

Предположим, что правильное выражение выглядит так: $\frac{a^{\frac{4}{3}} - b^3}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{3}{2}}}$. Решим его.

Представим числитель $a^{\frac{4}{3}} - b^3$ как разность квадратов, заметив, что $a^{\frac{4}{3}} = (a^{\frac{2}{3}})^2$ и $b^3 = (b^{\frac{3}{2}})^2$.

$a^{\frac{4}{3}} - b^3 = (a^{\frac{2}{3}})^2 - (b^{\frac{3}{2}})^2 = (a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{3}{2}})$.

Подставим это в дробь:

$\frac{(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{3}{2}})}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{3}{2}}}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{3}{2}})$:

$a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{3}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{3}{2}}$ (в предположении, что в условии опечатка, и числитель равен $a^{\frac{4}{3}} - b^3$).

4)

Решение:

Рассмотрим выражение $\frac{x^{1.2} - y^{2.1}}{x^{0.8} + x^{0.4}y^{0.7} + y^{1.4}}$.

Это выражение похоже на формулу разности кубов: $\frac{A^3 - B^3}{A^2 + AB + B^2} = A - B$.

Давайте проверим, соответствуют ли числитель и знаменатель этой формуле. Пусть $A = x^{0.4}$ и $B = y^{0.7}$.

Тогда:

$A^2 = (x^{0.4})^2 = x^{0.8}$

$B^2 = (y^{0.7})^2 = y^{1.4}$

$AB = x^{0.4}y^{0.7}$

Знаменатель $x^{0.8} + x^{0.4}y^{0.7} + y^{1.4}$ в точности соответствует выражению $A^2 + AB + B^2$.

Теперь проверим числитель:

$A^3 = (x^{0.4})^3 = x^{1.2}$

$B^3 = (y^{0.7})^3 = y^{2.1}$

Числитель $x^{1.2} - y^{2.1}$ в точности соответствует выражению $A^3 - B^3$.

Следовательно, исходное выражение можно упростить по формуле разности кубов:

$\frac{A^3 - B^3}{A^2 + AB + B^2} = A - B = x^{0.4} - y^{0.7}$.

Ответ: $x^{0.4} - y^{0.7}$.