Номер 100, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

100. Напишите выражение в виде корня:

1) $5 \cdot 7^{-\frac{3}{5}}$;

2) $a^{\frac{3}{4}} : b^{\frac{2}{3}}$;

3) $3b^{-\frac{4}{5}}$;

4) $b^{\frac{2}{3}} \cdot c^{\frac{3}{7}}$.

1)

Решение: Чтобы представить выражение $5 \cdot 7^{-\frac{3}{5}}$ в виде корня, воспользуемся свойствами степеней. Степень с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, поэтому:

$5 \cdot 7^{-\frac{3}{5}} = 5 \cdot \frac{1}{7^{\frac{3}{5}}} = \frac{5}{7^{\frac{3}{5}}}$

Далее, степень с дробным показателем $a^{\frac{m}{n}}$ можно записать как корень $\sqrt[n]{a^m}$. Применим это правило к знаменателю:

$7^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{7^3}$

Поскольку $7^3 = 343$, окончательное выражение имеет вид:

$\frac{5}{\sqrt[5]{343}}$

Ответ: $\frac{5}{\sqrt[5]{343}}$.

2)

Решение: Выражение $a^{\frac{3}{4}} : b^{\frac{2}{3}}$ представляет собой частное $\frac{a^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{2}{3}}}$. Преобразуем числитель и знаменатель в вид корня, используя правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$:

$a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}$

$b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}$

Получаем дробь с корнями: $\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[3]{b^2}}$.

Чтобы записать это под одним знаком корня, приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 4 и 3 равно 12. Для этого показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножаем на одно и то же число:

$\sqrt[4]{a^3} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^{3 \cdot 3}} = \sqrt[12]{a^9}$

$\sqrt[3]{b^2} = \sqrt[3 \cdot 4]{b^{2 \cdot 4}} = \sqrt[12]{b^8}$

Теперь деление можно записать под одним корнем:

$\frac{\sqrt[12]{a^9}}{\sqrt[12]{b^8}} = \sqrt[12]{\frac{a^9}{b^8}}$

Ответ: $\sqrt[12]{\frac{a^9}{b^8}}$.

3)

Решение: Для преобразования выражения $3b^{-\frac{4}{5}}$ сначала избавимся от отрицательного показателя степени, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$3b^{-\frac{4}{5}} = 3 \cdot \frac{1}{b^{\frac{4}{5}}} = \frac{3}{b^{\frac{4}{5}}}$

Затем преобразуем степень с дробным показателем в корень по правилу $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$:

$b^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{b^4}$

В итоге получаем:

$\frac{3}{\sqrt[5]{b^4}}$

Ответ: $\frac{3}{\sqrt[5]{b^4}}$.

4)

Решение: В выражении $b^{\frac{2}{3}} \cdot c^{\frac{3}{7}}$ каждый множитель представим в виде корня, используя правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$:

$b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}$

$c^{\frac{3}{7}} = \sqrt[7]{c^3}$

Произведение принимает вид: $\sqrt[3]{b^2} \cdot \sqrt[7]{c^3}$.

Для того чтобы записать произведение под одним знаком корня, приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 3 и 7 равно 21:

$\sqrt[3]{b^2} = \sqrt[3 \cdot 7]{b^{2 \cdot 7}} = \sqrt[21]{b^{14}}$

$\sqrt[7]{c^3} = \sqrt[7 \cdot 3]{c^{3 \cdot 3}} = \sqrt[21]{c^9}$

Теперь можно перемножить подкоренные выражения под общим знаком корня:

$\sqrt[21]{b^{14}} \cdot \sqrt[21]{c^9} = \sqrt[21]{b^{14}c^9}$

Ответ: $\sqrt[21]{b^{14}c^9}$.