Страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Пример. Представим в виде:

97.1) $ \frac{a^{\frac{3}{4}} - a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{1}{2}} - 1}{a - a^{\frac{1}{2}}} $;

2) $ \frac{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{4}}} $;

3) $ \frac{a^{\frac{4}{9}} - b^{\frac{9}{4}}}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{3}{2}}} $;

4) $ \frac{x^{1.2} - y^{2.1}}{x^{0.8} + x^{0.4}y^{0.7} + y^{1.4}} $.

1)

Решение:

Упростим данное выражение $\frac{a^{\frac{3}{4}} - a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{1}{2}} - 1}{a - a^{\frac{1}{2}}}$.

Сначала разложим на множители числитель, сгруппировав слагаемые:

$a^{\frac{3}{4}} - a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{1}{2}} - 1 = (a^{\frac{3}{4}} - a^{\frac{1}{4}}) + (a^{\frac{1}{2}} - 1) = a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{2}} - 1) + 1 \cdot (a^{\frac{1}{2}} - 1) = (a^{\frac{1}{4}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1)$.

Теперь разложим на множители знаменатель:

$a - a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 1)$.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{(a^{\frac{1}{4}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 1)}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - 1)$, при условии, что $a \neq 1$:

$\frac{a^{\frac{1}{4}} + 1}{a^{\frac{1}{2}}}$.

Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{4}} + 1}{a^{\frac{1}{2}}}$.

2)

Решение:

Упростим выражение $\frac{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{4}}}$.

Заметим, что числитель можно представить в виде разности квадратов. Для этого представим $a^{\frac{2}{3}}$ как $(a^{\frac{1}{3}})^2$ и $b^{\frac{1}{2}}$ как $(b^{\frac{1}{4}})^2$.

Числитель: $a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2 = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{4}})$.

Подставим разложенный числитель в исходную дробь:

$\frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{4}})}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{4}}}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{4}})$:

$a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{4}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{4}}$.

3)

Решение:

В условии задачи $\frac{a^{\frac{4}{9}} - b^{\frac{9}{4}}}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{3}{2}}}$, скорее всего, допущена опечатка, так как в данном виде выражение не упрощается с помощью стандартных формул сокращенного умножения. Наиболее вероятная опечатка — в показателях степеней числителя, и выражение должно было иметь вид, позволяющий применить формулу разности квадратов.

Предположим, что правильное выражение выглядит так: $\frac{a^{\frac{4}{3}} - b^3}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{3}{2}}}$. Решим его.

Представим числитель $a^{\frac{4}{3}} - b^3$ как разность квадратов, заметив, что $a^{\frac{4}{3}} = (a^{\frac{2}{3}})^2$ и $b^3 = (b^{\frac{3}{2}})^2$.

$a^{\frac{4}{3}} - b^3 = (a^{\frac{2}{3}})^2 - (b^{\frac{3}{2}})^2 = (a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{3}{2}})$.

Подставим это в дробь:

$\frac{(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{3}{2}})}{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{3}{2}}}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{3}{2}})$:

$a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{3}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{3}{2}}$ (в предположении, что в условии опечатка, и числитель равен $a^{\frac{4}{3}} - b^3$).

4)

Решение:

Рассмотрим выражение $\frac{x^{1.2} - y^{2.1}}{x^{0.8} + x^{0.4}y^{0.7} + y^{1.4}}$.

Это выражение похоже на формулу разности кубов: $\frac{A^3 - B^3}{A^2 + AB + B^2} = A - B$.

Давайте проверим, соответствуют ли числитель и знаменатель этой формуле. Пусть $A = x^{0.4}$ и $B = y^{0.7}$.

Тогда:

$A^2 = (x^{0.4})^2 = x^{0.8}$

$B^2 = (y^{0.7})^2 = y^{1.4}$

$AB = x^{0.4}y^{0.7}$

Знаменатель $x^{0.8} + x^{0.4}y^{0.7} + y^{1.4}$ в точности соответствует выражению $A^2 + AB + B^2$.

Теперь проверим числитель:

$A^3 = (x^{0.4})^3 = x^{1.2}$

$B^3 = (y^{0.7})^3 = y^{2.1}$

Числитель $x^{1.2} - y^{2.1}$ в точности соответствует выражению $A^3 - B^3$.

Следовательно, исходное выражение можно упростить по формуле разности кубов:

$\frac{A^3 - B^3}{A^2 + AB + B^2} = A - B = x^{0.4} - y^{0.7}$.

Ответ: $x^{0.4} - y^{0.7}$.

98. Вычислите значение выражения:

1) $320^{\frac{1}{3}} - 2(135)^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot (40)^{\frac{1}{3}};$

2) $\frac{3^{\frac{1}{2}}+1}{3^{\frac{1}{2}}-1} + \frac{3^{\frac{1}{2}}-1}{3^{\frac{1}{2}}+1};$

3) $10 \cdot 0,027^{\frac{1}{3}} - \left(-\frac{1}{5}\right)^{-2} + 4 \cdot 16^{-\frac{1}{2}};$

4) $\frac{1}{1+5^{\frac{1}{3}}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{1-5^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.$

1) $320^{\frac{1}{3}} - 2(135)^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot (40)^{\frac{1}{3}}$

Решение:

Для вычисления значения выражения преобразуем каждый член, вынося из-под знака кубического корня (степени $\frac{1}{3}$) множители, являющиеся точными кубами.

Разложим числа на множители:

$320 = 64 \cdot 5 = 4^3 \cdot 5$

$135 = 27 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5$

$40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$

Теперь упростим каждый член выражения, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$320^{\frac{1}{3}} = (4^3 \cdot 5)^{\frac{1}{3}} = (4^3)^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 4 \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

$(135)^{\frac{1}{3}} = (3^3 \cdot 5)^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

$(40)^{\frac{1}{3}} = (2^3 \cdot 5)^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$4 \cdot 5^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot (3 \cdot 5^{\frac{1}{3}}) + 3 \cdot (2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}) = 4 \cdot 5^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot 5^{\frac{1}{3}} + 6 \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

Вынесем общий множитель $5^{\frac{1}{3}}$ за скобки:

$(4 - 6 + 6) \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 4 \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $4 \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

2) $\frac{3^{\frac{1}{2}} + 1}{3^{\frac{1}{2}} - 1} + \frac{3^{\frac{1}{2}} - 1}{3^{\frac{1}{2}} + 1}$

Решение:

Для удобства введем замену: пусть $a = 3^{\frac{1}{2}}$. Тогда выражение примет вид:

$\frac{a + 1}{a - 1} + \frac{a - 1}{a + 1}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1$ по формуле разности квадратов:

$\frac{(a + 1)^2}{(a - 1)(a + 1)} + \frac{(a - 1)^2}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{(a + 1)^2 + (a - 1)^2}{a^2 - 1}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1$

$(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$

Числитель станет равен:

$(a^2 + 2a + 1) + (a^2 - 2a + 1) = 2a^2 + 2 = 2(a^2+1)$

Таким образом, выражение упрощается до:

$\frac{2(a^2 + 1)}{a^2 - 1}$

Теперь выполним обратную замену. Так как $a = 3^{\frac{1}{2}}$, то $a^2 = (3^{\frac{1}{2}})^2 = 3$.

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$\frac{2(3 + 1)}{3 - 1} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4$

Ответ: $4$

3) $10 \cdot 0,027^{\frac{1}{3}} - (-\frac{1}{5})^{-2} + 4 \cdot 16^{-\frac{1}{2}}$

Решение:

Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности.

Первый член: $10 \cdot 0,027^{\frac{1}{3}}$.

Представим десятичную дробь в виде куба: $0,027 = \frac{27}{1000} = (\frac{3}{10})^3 = 0,3^3$.

Тогда $0,027^{\frac{1}{3}} = (0,3^3)^{\frac{1}{3}} = 0,3$.

Значение первого члена: $10 \cdot 0,3 = 3$.

Второй член: $-(-\frac{1}{5})^{-2}$.

Используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ или $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $(-\frac{1}{5})^{-2} = (-5)^2 = 25$.

Значение второго члена со знаком минус перед ним: $-25$.

Третий член: $4 \cdot 16^{-\frac{1}{2}}$.

Используем свойства степени: $16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$.

Значение третьего члена: $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.

Теперь сложим полученные значения:

$3 - 25 + 1 = -22 + 1 = -21$.

Ответ: $-21$

4) $\frac{1}{1 + 5^{\frac{1}{3}}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{1 - 5^{\frac{1}{3}} + 5^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

Решение:

Для упрощения вычислений введем замену: пусть $x = 5^{\frac{1}{3}}$. Тогда $x^2 = (5^{\frac{1}{3}})^2 = 5^{\frac{2}{3}}$ и $x^3 = (5^{\frac{1}{3}})^3 = 5$.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{1 + x} - \frac{x}{1 - x + x^2} + \frac{x}{3}$

Рассмотрим первые два слагаемых. Их знаменатели $(1+x)$ и $(1-x+x^2)$ являются множителями в формуле суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. В нашем случае $1^3+x^3=(1+x)(1-x+x^2)$.

Приведем первые две дроби к общему знаменателю $1+x^3$:

$\frac{1 \cdot (1 - x + x^2)}{(1+x)(1 - x + x^2)} - \frac{x \cdot (1+x)}{(1+x)(1 - x + x^2)} = \frac{1 - x + x^2 - x(1+x)}{1+x^3}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{1 - x + x^2 - x - x^2}{1+x^3} = \frac{1 - 2x}{1+x^3}$

Теперь выполним обратную замену, подставив $x=5^{\frac{1}{3}}$ и $x^3=5$:

$\frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{1+5} = \frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{6}$

Теперь добавим третье слагаемое из исходного выражения:

$\frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{6} + \frac{1}{3} \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

Приведем второе слагаемое к знаменателю 6:

$\frac{1}{3} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{6}$

Сложим дроби:

$\frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{6} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{6} = \frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

99. Напишите корни в виде степеней с рациональными показателями:

1) $\frac{1}{8} \sqrt[7]{2^{15} \cdot ax^5}$;

2) $\sqrt[3]{a^7 \sqrt[4]{a}}>;

3) $\sqrt[9]{b^8} \cdot \sqrt[3]{b};

4) $\frac{1}{3} \sqrt[3]{27 \cdot \sqrt[3]{x}}.

1)

Для преобразования выражения $\frac{1}{8} \sqrt[7]{2^{15} \cdot ax^5}$ в степень с рациональным показателем, воспользуемся следующими свойствами степеней и корней: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(abc)^n = a^n b^n c^n$.

$\frac{1}{8} \sqrt[7]{2^{15} \cdot ax^5} = \frac{1}{2^3} \cdot (2^{15} a^1 x^5)^{\frac{1}{7}} = 2^{-3} \cdot (2^{15})^{\frac{1}{7}} \cdot a^{\frac{1}{7}} \cdot (x^5)^{\frac{1}{7}} = 2^{-3} \cdot 2^{\frac{15}{7}} \cdot a^{\frac{1}{7}} \cdot x^{\frac{5}{7}}$

Объединим степени с основанием 2, сложив их показатели:

$2^{-3+\frac{15}{7}} a^{\frac{1}{7}} x^{\frac{5}{7}} = 2^{\frac{-21}{7}+\frac{15}{7}} a^{\frac{1}{7}} x^{\frac{5}{7}} = 2^{-\frac{6}{7}} a^{\frac{1}{7}} x^{\frac{5}{7}}$

Ответ: $2^{-\frac{6}{7}} a^{\frac{1}{7}} x^{\frac{5}{7}}$.

2)

Для преобразования вложенных корней будем двигаться изнутри наружу. Сначала преобразуем внутренний корень $\sqrt[4]{a}$ в степень, а затем выполним остальные операции.

$\sqrt[3]{a^7 \sqrt[4]{a}} = \sqrt[3]{a^7 \cdot a^{\frac{1}{4}}}$

Сложим показатели степеней под кубическим корнем:

$\sqrt[3]{a^{7+\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{a^{\frac{28}{4}+\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{a^{\frac{29}{4}}}$

Теперь преобразуем кубический корень в степень:

$(a^{\frac{29}{4}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{29}{4} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{29}{12}}$

Ответ: $a^{\frac{29}{12}}$.

3)

Как и в предыдущем примере, преобразуем выражение с вложенными корнями, начиная с внутреннего корня $\sqrt[3]{b}$.

$\sqrt[9]{b^8 \cdot \sqrt[3]{b}} = \sqrt[9]{b^8 \cdot b^{\frac{1}{3}}}$

Сложим показатели степеней под корнем девятой степени:

$\sqrt[9]{b^{8+\frac{1}{3}}} = \sqrt[9]{b^{\frac{24}{3}+\frac{1}{3}}} = \sqrt[9]{b^{\frac{25}{3}}}$

Преобразуем корень девятой степени в степень:

$(b^{\frac{25}{3}})^{\frac{1}{9}} = b^{\frac{25}{3} \cdot \frac{1}{9}} = b^{\frac{25}{27}}$

Ответ: $b^{\frac{25}{27}}$.

4)

В этом выражении сначала упростим числовые коэффициенты, а затем преобразуем вложенные корни.

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{27 \cdot \sqrt[3]{x}} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}$

Так как $\sqrt[3]{27} = 3$, выражение упрощается:

$\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}} = 1 \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[3]{x^{\frac{1}{3}}}$

Преобразуем оставшийся корень в степень:

$(x^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{9}}$

Ответ: $x^{\frac{1}{9}}$.

100. Напишите выражение в виде корня:

1) $5 \cdot 7^{-\frac{3}{5}}$;

2) $a^{\frac{3}{4}} : b^{\frac{2}{3}}$;

3) $3b^{-\frac{4}{5}}$;

4) $b^{\frac{2}{3}} \cdot c^{\frac{3}{7}}$.

1)

Решение: Чтобы представить выражение $5 \cdot 7^{-\frac{3}{5}}$ в виде корня, воспользуемся свойствами степеней. Степень с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, поэтому:

$5 \cdot 7^{-\frac{3}{5}} = 5 \cdot \frac{1}{7^{\frac{3}{5}}} = \frac{5}{7^{\frac{3}{5}}}$

Далее, степень с дробным показателем $a^{\frac{m}{n}}$ можно записать как корень $\sqrt[n]{a^m}$. Применим это правило к знаменателю:

$7^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{7^3}$

Поскольку $7^3 = 343$, окончательное выражение имеет вид:

$\frac{5}{\sqrt[5]{343}}$

Ответ: $\frac{5}{\sqrt[5]{343}}$.

2)

Решение: Выражение $a^{\frac{3}{4}} : b^{\frac{2}{3}}$ представляет собой частное $\frac{a^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{2}{3}}}$. Преобразуем числитель и знаменатель в вид корня, используя правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$:

$a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}$

$b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}$

Получаем дробь с корнями: $\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[3]{b^2}}$.

Чтобы записать это под одним знаком корня, приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 4 и 3 равно 12. Для этого показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножаем на одно и то же число:

$\sqrt[4]{a^3} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^{3 \cdot 3}} = \sqrt[12]{a^9}$

$\sqrt[3]{b^2} = \sqrt[3 \cdot 4]{b^{2 \cdot 4}} = \sqrt[12]{b^8}$

Теперь деление можно записать под одним корнем:

$\frac{\sqrt[12]{a^9}}{\sqrt[12]{b^8}} = \sqrt[12]{\frac{a^9}{b^8}}$

Ответ: $\sqrt[12]{\frac{a^9}{b^8}}$.

3)

Решение: Для преобразования выражения $3b^{-\frac{4}{5}}$ сначала избавимся от отрицательного показателя степени, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$3b^{-\frac{4}{5}} = 3 \cdot \frac{1}{b^{\frac{4}{5}}} = \frac{3}{b^{\frac{4}{5}}}$

Затем преобразуем степень с дробным показателем в корень по правилу $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$:

$b^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{b^4}$

В итоге получаем:

$\frac{3}{\sqrt[5]{b^4}}$

Ответ: $\frac{3}{\sqrt[5]{b^4}}$.

4)

Решение: В выражении $b^{\frac{2}{3}} \cdot c^{\frac{3}{7}}$ каждый множитель представим в виде корня, используя правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$:

$b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}$

$c^{\frac{3}{7}} = \sqrt[7]{c^3}$

Произведение принимает вид: $\sqrt[3]{b^2} \cdot \sqrt[7]{c^3}$.

Для того чтобы записать произведение под одним знаком корня, приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 3 и 7 равно 21:

$\sqrt[3]{b^2} = \sqrt[3 \cdot 7]{b^{2 \cdot 7}} = \sqrt[21]{b^{14}}$

$\sqrt[7]{c^3} = \sqrt[7 \cdot 3]{c^{3 \cdot 3}} = \sqrt[21]{c^9}$

Теперь можно перемножить подкоренные выражения под общим знаком корня:

$\sqrt[21]{b^{14}} \cdot \sqrt[21]{c^9} = \sqrt[21]{b^{14}c^9}$

Ответ: $\sqrt[21]{b^{14}c^9}$.

101. Найдите область определения выражения:

1) $(x + 1)^{\frac{3}{7}};

2) $x^{\frac{3}{5}};

3) $x^{-\frac{3}{4}};

4) $(x - 3)^{\frac{2}{3}}.

1) $(x+1)^{\frac{3}{7}}$

Область определения степенной функции с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}}$ зависит от знаменателя $n$. Выражение можно представить в виде корня: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

В данном случае выражение $(x+1)^{\frac{3}{7}}$ равносильно $\sqrt[7]{(x+1)^3}$.

Поскольку показатель корня $n=7$ является нечетным числом, корень определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Выражение $(x+1)^3$ определено для всех действительных $x$.

Следовательно, область определения выражения - все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $x^{\frac{3}{5}}$

Данное выражение можно записать в виде корня: $x^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{x^3}$.

Знаменатель показателя степени (показатель корня) равен 5, что является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения.

Выражение $x^3$ определено для всех действительных $x$.

Таким образом, область определения - все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) $x^{-\frac{3}{4}}$

Отрицательный показатель степени означает обратную величину: $x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$.

Рассмотрим знаменатель $x^{\frac{3}{4}}$. Его можно представить в виде корня: $x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}$.

Знаменатель показателя степени (показатель корня) равен 4, что является четным числом. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Поэтому должно выполняться условие $x^3 \ge 0$, что равносильно $x \ge 0$.

Кроме того, знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x^{\frac{3}{4}} \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Объединяя оба условия, $x \ge 0$ и $x \neq 0$, получаем, что $x$ должен быть строго больше нуля.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

4) $(x-3)^{\frac{2}{3}}$

Данное выражение можно записать в виде корня: $(x-3)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(x-3)^2}$.

Знаменатель показателя степени (показатель корня) равен 3, что является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Подкоренное выражение $(x-3)^2$ определено для всех действительных $x$.

Следовательно, область определения - все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

102. Упростите:

1) $ \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} + b^{\frac{1}{2}} $, $ a > 0, b > 0; $

2) $ \frac{x^{\frac{2}{3}}-y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}}} $, $ x \neq y; $

3) $ \left(a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{3}{2}} - \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}} $, $ a > 0, b > 0; $

4) $ \left(a\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}} + b \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}} - 2 (ab)^{\frac{1}{2}}\right) \cdot (ab)^{\frac{1}{2}} $, $ a > 0, b > 0. $

1)Решение:
Представим числитель $a-b$ как разность квадратов, учитывая, что $a > 0$ и $b > 0$:
$a-b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.
Теперь подставим это разложение в исходное выражение:
$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} + b^{\frac{1}{2}} $
Сократим дробь на общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$, который не равен нулю, так как $a>0, b>0$:
$ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) + b^{\frac{1}{2}} $
Приводим подобные слагаемые:
$ a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} $
Ответ: $a^{\frac{1}{2}}$.

2)Решение:
Числитель $x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}}$ можно представить как разность квадратов: $x^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2$ и $y^{\frac{2}{3}} = (y^{\frac{1}{3}})^2$.
$ x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2 - (y^{\frac{1}{3}})^2 = (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}) $
Подставим разложение в исходную дробь:
$ \frac{(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}} $
По условию $x \neq y$, следовательно $x^{\frac{1}{3}} \neq y^{\frac{1}{3}}$, поэтому знаменатель не равен нулю. Сокращаем дробь на $(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})$:
$ x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} $
Ответ: $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}$.

3)Решение:
Раскроем скобки, умножив каждый член выражения в скобках на множитель $\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$.
Выполним умножение для каждого члена по отдельности:
1. $ a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{2}} b^{\frac{2}{2}} = ab $.
2. $ a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} b^{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}} = a^0 b^{\frac{4}{2}} = 1 \cdot b^2 = b^2 $.
3. $ -\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}} = - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = -1 $.
Теперь сложим полученные результаты:
$ ab + b^2 - 1 $
Ответ: $ab + b^2 - 1$.

4)Решение:
Раскроем скобки, умножив каждый член выражения в скобках на $(ab)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$.
Упростим каждый член по отдельности:
1. $ a\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot (ab)^{\frac{1}{2}} = a \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} \cdot a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \cdot b^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = a^2 b^0 = a^2 $.
2. $ b\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot (ab)^{\frac{1}{2}} = b \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} \cdot a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = b^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = b^2 a^0 = b^2 $.
3. $ -2(ab)^{\frac{1}{2}} \cdot (ab)^{\frac{1}{2}} = -2(ab)^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = -2(ab)^1 = -2ab $.
Соберем все члены вместе:
$ a^2 + b^2 - 2ab $
Полученное выражение является формулой квадрата разности:
$ (a-b)^2 $
Ответ: $(a-b)^2$.