Страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Проверьте справедливость следующих равенств (72–73):

72.1) $\sqrt[3]{64} = 4;$ 2) $\sqrt[5]{-1} = -1;$ 3) $\sqrt[10]{1024} = 2;$ 4) $\sqrt[5]{-243} = -3.$

1) $\sqrt[3]{64} = 4$

Решение:

Согласно определению корня n-ой степени, равенство $\sqrt[n]{a} = b$ является верным, если выполняется равенство $b^n = a$. Для корня нечетной степени (в данном случае $n=3$) это определение справедливо для любого действительного числа $a$.

Проверим, выполняется ли условие $4^3 = 64$.

Вычислим $4^3$: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Так как $4^3 = 64$, исходное равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.

2) $\sqrt[5]{-1} = -1$

Решение:

Для корня нечетной степени ($n=5$) равенство $\sqrt[n]{a} = b$ справедливо, если $b^n = a$.

Проверим, выполняется ли условие $(-1)^5 = -1$.

Возводим $-1$ в пятую степень: $(-1)^5 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$. Так как степень нечетная, результат отрицательный.

Поскольку $(-1)^5 = -1$, исходное равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.

3) $\sqrt[10]{1024} = 2$

Решение:

В данном случае мы имеем дело с арифметическим корнем четной степени ($n=10$). Равенство $\sqrt[n]{a} = b$ для четного $n$ справедливо, если выполняются два условия: $b \geq 0$ и $b^n = a$.

Проверим оба условия для $a=1024$ и $b=2$.

1. Условие $b \geq 0$: $2 \geq 0$. Условие выполняется.

2. Условие $b^n = a$: $2^{10} = 1024$.

Вычислим $2^{10}$: $2^{10} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1024$.

Оба условия выполнены, следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.

4) $\sqrt[5]{-243} = -3$

Решение:

Для корня нечетной степени ($n=5$) равенство $\sqrt[n]{a} = b$ справедливо, если $b^n = a$.

Проверим, выполняется ли условие $(-3)^5 = -243$.

Возводим $-3$ в пятую степень. Так как степень нечетная, результат будет отрицательным: $(-3)^5 = -(3^5)$.

Вычислим $3^5$: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.

Следовательно, $(-3)^5 = -243$.

Поскольку $(-3)^5 = -243$, исходное равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.

73. 1) $\sqrt[21]{1}=1$;

2) $\sqrt[6]{64}=2$;

3) $\sqrt[3]{-125}=-3$;

4) $\sqrt[17]{0}=0$.

1) $\sqrt[21]{1} = 1$

Решение

Проверим данное равенство. По определению корня n-ой степени, равенство $\sqrt[n]{a} = b$ является верным, если выполняется условие $b^n = a$. В данном случае показатель корня $n=21$, подкоренное выражение $a=1$, а значение корня $b=1$. Проверим, выполняется ли условие $1^{21} = 1$. Число 1 в любой степени равно 1, следовательно, $1^{21} = 1$. Условие выполняется, значит, равенство верное.

Ответ: Равенство верное.

2) $\sqrt[6]{64} = 2$

Решение

Проверим данное равенство, используя определение корня n-ой степени: $\sqrt[n]{a} = b$ тогда и только тогда, когда $b^n = a$ (для корней четной степени $a \ge 0$ и $b \ge 0$). Здесь $n=6$, $a=64$, $b=2$. Проверим, выполняется ли условие $2^6 = 64$. Вычислим $2^6$: $2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$. Условие $2^6 = 64$ выполняется, следовательно, равенство верное.

Ответ: Равенство верное.

3) $\sqrt[3]{-125} = -3$

Решение

Проверим данное равенство по определению корня n-ой степени: $\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a$. В данном случае $n=3$, $a=-125$, $b=-3$. Проверим, выполняется ли условие $(-3)^3 = -125$. Вычислим $(-3)^3$: $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times (-3) = -27$. Так как $-27 \neq -125$, данное равенство является неверным. Найдем правильное значение корня. Нам нужно найти такое число $b$, что $b^3 = -125$. Поскольку $(-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times (-5) = -125$, то правильное значение корня равно -5. Таким образом, верное равенство: $\sqrt[3]{-125} = -5$.

Ответ: Равенство неверное. Правильное значение $\sqrt[3]{-125} = -5$.

4) $\sqrt[17]{0} = 0$

Решение

Проверим данное равенство по определению корня n-ой степени: $\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a$. В данном случае $n=17$, $a=0$, $b=0$. Проверим, выполняется ли условие $0^{17} = 0$. Ноль, возведенный в любую положительную степень, равен нулю, поэтому $0^{17} = 0$. Условие выполняется, значит, равенство верное.

Ответ: Равенство верное.

Вычислите (74–75):

74.1) $\sqrt[5]{-32}$;

2) $\sqrt[4]{81}$;

3) $\sqrt[3]{-64}$;

4) $\sqrt[3]{-216}$.

74. 1)

Решение:

Требуется вычислить $\sqrt[5]{-32}$.

Корень нечетной степени ($n=5$) из отрицательного числа ($a=-32$) существует и является отрицательным числом. По свойству корней нечетной степени: $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ для $a > 0$.

Применим это свойство: $\sqrt[5]{-32} = -\sqrt[5]{32}$.

Теперь необходимо найти число, которое при возведении в пятую степень равно 32. Подбором находим, что это число 2, так как $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Таким образом, $\sqrt[5]{-32} = -2$.

Проверка: $(-2)^5 = -32$.

Ответ: $-2$.

74. 2)

Решение:

Требуется вычислить $\sqrt[4]{81}$.

Это арифметический корень четной степени ($n=4$). По определению, арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, n-я степень которого равна $a$.

Нам нужно найти такое неотрицательное число $x$, что $x^4 = 81$.

Подбором находим, что $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Поскольку $3$ является неотрицательным числом, оно и есть искомый корень.

Ответ: $3$.

74. 3)

Решение:

Требуется вычислить $\sqrt[3]{-64}$.

Корень нечетной степени ($n=3$) из отрицательного числа ($a=-64$) существует и является отрицательным числом. Воспользуемся свойством $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ для $a > 0$.

$\sqrt[3]{-64} = -\sqrt[3]{64}$.

Теперь найдем число, которое в третьей степени равно 64. Подбором находим, что это число 4, так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

Следовательно, $\sqrt[3]{-64} = -4$.

Проверка: $(-4)^3 = -64$.

Ответ: $-4$.

74. 4)

Решение:

Требуется вычислить $\sqrt[3]{-216}$.

Корень нечетной степени ($n=3$) из отрицательного числа ($a=-216$) существует и является отрицательным числом. Применим свойство $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ для $a > 0$.

$\sqrt[3]{-216} = -\sqrt[3]{216}$.

Найдем число, которое в третьей степени равно 216. Подбором находим, что это число 6, так как $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.

Следовательно, $\sqrt[3]{-216} = -6$.

Проверка: $(-6)^3 = -216$.

Ответ: $-6$.

75.1) $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$;

2) $\sqrt[4]{\frac{625}{81}}$;

3) $\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$;

4) $\sqrt[4]{\frac{256}{81}}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$ воспользуемся свойством корня из дроби: корень n-ой степени из частного равен частному корней n-ой степени из делимого и делителя. Математически это записывается так: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (при $b \neq 0$).

Применим это свойство:

$\sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$

Теперь вычислим корень кубический из числителя и знаменателя. Найдём число, которое при возведении в куб (третью степень) даёт 27, и число, которое в кубе даёт 64.

Для числителя: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$, следовательно, $\sqrt[3]{27} = 3$.

Для знаменателя: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, следовательно, $\sqrt[3]{64} = 4$.

Подставив найденные значения, получаем:

$\frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

2) Для выражения $\sqrt[4]{\frac{625}{81}}$ применим то же свойство, что и в первом пункте: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}}$

Вычислим корень четвёртой степени из числителя и знаменателя.

Для числителя: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$, следовательно, $\sqrt[4]{625} = 5$.

Для знаменателя: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, следовательно, $\sqrt[4]{81} = 3$.

Подставляем значения в дробь:

$\frac{5}{3}$

При желании можно выделить целую часть: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

3) В выражении $\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$ мы имеем дело с корнем нечётной степени (кубическим) из отрицательного числа. Для корней нечётной степени существует свойство: $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ (где $n$ — нечётное число).

Используя это свойство, вынесем знак минус из-под корня:

$\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

Теперь применим свойство корня из дроби:

$-\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

Вычислим значения корней:

$\sqrt[3]{27} = 3$ (так как $3^3 = 27$)

$\sqrt[3]{8} = 2$ (так как $2^3 = 8$)

Подставляем результаты:

$-\frac{3}{2}$

Этот результат можно представить в виде десятичной дроби $-1.5$ или смешанного числа $-1\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.

4) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{\frac{256}{81}}$ снова используем свойство корня из дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[4]{\frac{256}{81}} = \frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{81}}$

Вычислим корень четвёртой степени для числителя и знаменателя.

Для числителя: $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256$, значит $\sqrt[4]{256} = 4$.

Для знаменателя: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$, значит $\sqrt[4]{81} = 3$.

Подставляем найденные значения:

$\frac{4}{3}$

Можно также выделить целую часть: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

Решите уравнения (76–77):

76.1) $x^3 + 8 = 0$;

2) $x^6 = 7$;

3) $x^3 = 4$;

4) $x^4 = 16$.

1) $x^3 + 8 = 0$

Решение:

Перенесем 8 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x^3 = -8$

Для нахождения $x$ необходимо извлечь кубический корень из -8.

$x = \sqrt[3]{-8}$

Поскольку $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$, корень равен -2.

$x = -2$

Убедимся, что других действительных корней нет. Для этого разложим исходное уравнение на множители по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Первый случай: $x+2=0$, откуда $x = -2$.

Второй случай: $x^2 - 2x + 4 = 0$. Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), у этого уравнения нет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением является $x = -2$.

Ответ: $x = -2$.

2) $x^6 = 7$

Решение:

Данное уравнение имеет вид $x^n = a$, где показатель степени $n=6$ является четным числом, а правая часть $a=7$ — положительным числом.

Уравнения такого типа имеют два действительных корня, которые являются противоположными числами.

Для нахождения $x$ извлечем корень шестой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt[6]{7}$

Таким образом, решениями уравнения являются $x_1 = \sqrt[6]{7}$ и $x_2 = -\sqrt[6]{7}$.

Ответ: $x = \pm\sqrt[6]{7}$.

3) $x^3 = 4$

Решение:

Данное уравнение имеет вид $x^n = a$, где показатель степени $n=3$ является нечетным числом.

Уравнения такого типа всегда имеют ровно один действительный корень.

Для нахождения $x$ извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{4}$

Это иррациональное число и является точным решением уравнения.

Ответ: $x = \sqrt[3]{4}$.

4) $x^4 = 16$

Решение:

Данное уравнение имеет вид $x^n = a$, где показатель степени $n=4$ является четным числом, а правая часть $a=16$ — положительным числом.

Уравнения такого типа имеют два действительных корня.

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt[4]{16}$

Найдем значение корня: $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Альтернативный способ решения — разложение на множители:

$x^4 - 16 = 0$

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0$

Еще раз применим формулу разности квадратов для первого множителя:

$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x - 2 = 0 \implies x = 2$.

2. $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

3. $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Оба способа приводят к одинаковым результатам.

Ответ: $x = \pm 2$.

77.1) $16x^4 - 1 = 0;$

2) $0.01x^3 + 10 = 0;$

3) $x^7 + 128 = 0;$

4) $x^6 - 64 = 0.$

1)

Дано:

Уравнение $16x^4 - 1 = 0$.

Найти:

Действительные корни уравнения.

Решение:

Это уравнение вида $ax^n+b=0$. Для его решения выразим $x^n$.

Перенесём свободный член (-1) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$16x^4 = 1$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^4$, то есть на 16:

$x^4 = \frac{1}{16}$

Так как показатель степени $n=4$ является чётным числом, а правая часть уравнения положительна, уравнение имеет два действительных корня. Чтобы найти их, извлечём корень четвёртой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$

Вычисляем корень:

$x = \pm\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}} = \pm\frac{1}{2}$

Таким образом, получаем два корня: $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $x_1 = 0,5$; $x_2 = -0,5$.

2)

Дано:

Уравнение $0,01x^3 + 10 = 0$.

Найти:

Действительный корень уравнения.

Решение:

Перенесём свободный член (10) в правую часть уравнения:

$0,01x^3 = -10$

Разделим обе части уравнения на 0,01. Деление на 0,01 эквивалентно умножению на 100:

$x^3 = \frac{-10}{0,01} = -10 \cdot 100 = -1000$

Так как показатель степени $n=3$ является нечётным числом, уравнение имеет один действительный корень. Извлечём кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{-1000}$

Поскольку $(-10) \cdot (-10) \cdot (-10) = -1000$, корень равен -10.

$x = -10$

Ответ: $x = -10$.

3)

Дано:

Уравнение $x^7 + 128 = 0$.

Найти:

Действительный корень уравнения.

Решение:

Перенесём свободный член (128) в правую часть уравнения:

$x^7 = -128$

Так как показатель степени $n=7$ является нечётным числом, уравнение имеет один действительный корень. Извлечём корень седьмой степени из обеих частей:

$x = \sqrt[7]{-128}$

Подберём число, седьмая степень которого равна -128. Мы знаем, что $2^7 = 128$. Следовательно, $(-2)^7 = -128$.

$x = -2$

Ответ: $x = -2$.

4)

Дано:

Уравнение $x^6 - 64 = 0$.

Найти:

Действительные корни уравнения.

Решение:

Перенесём свободный член (-64) в правую часть уравнения:

$x^6 = 64$

Так как показатель степени $n=6$ является чётным числом, а правая часть уравнения положительна, уравнение имеет два действительных корня. Извлечём корень шестой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt[6]{64}$

Мы знаем, что $2^6 = 64$.

$x = \pm2$

Таким образом, получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $x_1 = 2$; $x_2 = -2$.

Найдите значения выражений (78—82):

78.1) $(-\sqrt[4]{13})^4$;

2) $(3\sqrt[5]{-3})^5$;

3) $(\sqrt[3]{7})^3$;

4) $(-\sqrt[6]{2})^6$.

1)Решение: Чтобы найти значение выражения $(-\sqrt[4]{13})^4$, воспользуемся свойством возведения в степень произведения: $(ab)^n = a^n b^n$. В данном случае $a = -1$, $b = \sqrt[4]{13}$ и $n=4$.
$(-\sqrt[4]{13})^4 = (-1)^4 \cdot (\sqrt[4]{13})^4$.
Так как показатель степени 4 является четным числом, то $(-1)^4 = 1$.
По определению корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{x})^n = x$ (для $x \ge 0$, если $n$ четное). В нашем случае $(\sqrt[4]{13})^4 = 13$.
Перемножим полученные результаты: $1 \cdot 13 = 13$.
Ответ: 13.

2)Решение: Чтобы найти значение выражения $(3\sqrt[5]{-3})^5$, воспользуемся свойством возведения в степень произведения: $(ab)^n = a^n b^n$. В данном случае $a = 3$, $b = \sqrt[5]{-3}$ и $n=5$.
$(3\sqrt[5]{-3})^5 = 3^5 \cdot (\sqrt[5]{-3})^5$.
Вычислим каждый множитель отдельно.
$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
По определению корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{x})^n = x$. В нашем случае $(\sqrt[5]{-3})^5 = -3$.
Перемножим полученные результаты: $243 \cdot (-3) = -729$.
Ответ: -729.

3)Решение: Для вычисления значения выражения $(\sqrt[3]{7})^3$ необходимо применить основное свойство корня n-ой степени, которое гласит, что $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
В данном выражении $n=3$ и $a=7$.
Следовательно, $(\sqrt[3]{7})^3 = 7$.
Ответ: 7.

4)Решение: Чтобы найти значение выражения $(-\sqrt[6]{2})^6$, воспользуемся свойством возведения в степень произведения: $(ab)^n = a^n b^n$. В данном случае $a = -1$, $b = \sqrt[6]{2}$ и $n=6$.
$(-\sqrt[6]{2})^6 = (-1)^6 \cdot (\sqrt[6]{2})^6$.
Так как показатель степени 6 является четным числом, то $(-1)^6 = 1$.
По определению корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{x})^n = x$ (для $x \ge 0$, если $n$ четное). В нашем случае $(\sqrt[6]{2})^6 = 2$.
Перемножим полученные результаты: $1 \cdot 2 = 2$.
Ответ: 2.

79.1)

1) $\sqrt[4]{625 \cdot 81}$;

2) $\sqrt[5]{243 \cdot 32}$;

3) $\sqrt[3]{8 \cdot 27}$;

4) $\sqrt[4]{0,0001 \cdot 81}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $ \sqrt[4]{625 \cdot 81} $, воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} $.
$ \sqrt[4]{625 \cdot 81} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{81} $.
Найдем корень четвертой степени из каждого множителя. Для этого представим подкоренные выражения в виде степени с показателем 4:
$ 625 = 5^4 $
$ 81 = 3^4 $
Тогда:
$ \sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5 $
$ \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3 $
Теперь перемножим полученные результаты:
$ 5 \cdot 3 = 15 $.
Ответ: 15.

2) Для вычисления $ \sqrt[5]{243 \cdot 32} $ применим свойство корня из произведения:
$ \sqrt[5]{243 \cdot 32} = \sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{32} $.
Вычислим корень пятой степени из каждого числа, представив их в виде степени с показателем 5:
$ 243 = 3^5 $
$ 32 = 2^5 $
Следовательно:
$ \sqrt[5]{243} = \sqrt[5]{3^5} = 3 $
$ \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2 $
Перемножим значения:
$ 3 \cdot 2 = 6 $.
Ответ: 6.

3) Вычислим $ \sqrt[3]{8 \cdot 27} $, используя свойство корня из произведения:
$ \sqrt[3]{8 \cdot 27} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} $.
Найдем кубический корень из каждого множителя, представив их в виде степени с показателем 3:
$ 8 = 2^3 $
$ 27 = 3^3 $
Тогда:
$ \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2 $
$ \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3 $
Перемножим результаты:
$ 2 \cdot 3 = 6 $.
Ответ: 6.

4) Для вычисления $ \sqrt[4]{0.0001 \cdot 81} $ воспользуемся свойством корня из произведения:
$ \sqrt[4]{0.0001 \cdot 81} = \sqrt[4]{0.0001} \cdot \sqrt[4]{81} $.
Вычислим корень четвертой степени из каждого множителя, представив их в виде степени с показателем 4:
$ 0.0001 = 10^{-4} = (0.1)^4 $
$ 81 = 3^4 $
Следовательно:
$ \sqrt[4]{0.0001} = \sqrt[4]{(0.1)^4} = 0.1 $
$ \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3 $
Перемножим полученные значения:
$ 0.1 \cdot 3 = 0.3 $.
Ответ: 0.3.

80.

1) $ \sqrt[5]{625 \cdot 160} $;

2) $ \sqrt[3]{24 \cdot 9} $;

3) $ \sqrt[4]{27 \cdot 48} $;

4) $ \sqrt[3]{45 \cdot 75} $.

1)

Дано:

Вычислить значение выражения $\sqrt[5]{625 \cdot 160}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Для вычисления значения корня представим подкоренное выражение в виде произведения множителей в пятой степени. Для этого разложим числа 625 и 160 на простые множители.

Разложение числа 625:

$625 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$.

Разложение числа 160:

$160 = 16 \cdot 10 = 2^4 \cdot (2 \cdot 5) = 2^5 \cdot 5$.

Теперь перемножим полученные разложения под знаком корня:

$625 \cdot 160 = 5^4 \cdot (2^5 \cdot 5) = 2^5 \cdot 5^4 \cdot 5^1 = 2^5 \cdot 5^{4+1} = 2^5 \cdot 5^5$.

Используем свойство корня $\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = \sqrt[n]{(a \cdot b)^n} = a \cdot b$.

$\sqrt[5]{625 \cdot 160} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 5^5} = \sqrt[5]{(2 \cdot 5)^5} = 2 \cdot 5 = 10$.

Ответ: 10.

2)

Дано:

Вычислить значение выражения $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Для вычисления значения корня представим подкоренное выражение в виде произведения множителей в третьей степени. Разложим числа 24 и 9 на множители.

Разложение числа 24:

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Разложение числа 9:

$9 = 3^2$.

Перемножим разложения под корнем:

$24 \cdot 9 = (2^3 \cdot 3) \cdot 3^2 = 2^3 \cdot 3^{1+2} = 2^3 \cdot 3^3$.

Используем свойство корня $\sqrt[n]{(a \cdot b)^n} = a \cdot b$.

$\sqrt[3]{24 \cdot 9} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{(2 \cdot 3)^3} = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6.

3)

Дано:

Вычислить значение выражения $\sqrt[4]{27 \cdot 48}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей в четвертой степени. Разложим числа 27 и 48 на множители.

Разложение числа 27:

$27 = 3^3$.

Разложение числа 48:

$48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.

Перемножим разложения под корнем:

$27 \cdot 48 = 3^3 \cdot (2^4 \cdot 3) = 2^4 \cdot 3^{3+1} = 2^4 \cdot 3^4$.

Используем свойство корня $\sqrt[n]{(a \cdot b)^n} = a \cdot b$.

$\sqrt[4]{27 \cdot 48} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3)^4} = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6.

4)

Дано:

Вычислить значение выражения $\sqrt[3]{45 \cdot 75}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей в третьей степени. Разложим числа 45 и 75 на множители.

Разложение числа 45:

$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

Разложение числа 75:

$75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$.

Перемножим разложения под корнем:

$45 \cdot 75 = (3^2 \cdot 5) \cdot (5^2 \cdot 3) = 3^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 5^2 = 3^{2+1} \cdot 5^{1+2} = 3^3 \cdot 5^3$.

Используем свойство корня $\sqrt[n]{(a \cdot b)^n} = a \cdot b$.

$\sqrt[3]{45 \cdot 75} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{(3 \cdot 5)^3} = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: 15.

81.1)
1) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[9]{8}$;
2) $\sqrt[7]{16} \cdot \sqrt[7]{-8}$;
3) $\sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9}$;
4) $\sqrt[3]{-25} \cdot \sqrt[6]{25}$.

1)

Дано: Выражение $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[9]{8}$.

Найти: Значение выражения.

Решение:

Для того чтобы перемножить корни с разными показателями, приведем их к общему основанию и представим в виде степеней с рациональными показателями, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Сначала представим подкоренные выражения 4 и 8 в виде степеней числа 2:

$4 = 2^2$

$8 = 2^3$

Теперь преобразуем каждый корень:

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[9]{8} = \sqrt[9]{2^3} = 2^{\frac{3}{9}} = 2^{\frac{1}{3}}$

Теперь исходное выражение можно записать как произведение степеней с одинаковым основанием:

$2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$):

$2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{3}{3}} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2.

2)

Дано: Выражение $\sqrt[7]{16} \cdot \sqrt[7]{-8}$.

Найти: Значение выражения.

Решение:

В данном выражении оба корня имеют одинаковый показатель (7), поэтому можно воспользоваться свойством произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[7]{16} \cdot \sqrt[7]{-8} = \sqrt[7]{16 \cdot (-8)}$

Вычислим произведение под корнем:

$16 \cdot (-8) = -128$

Таким образом, выражение сводится к нахождению $\sqrt[7]{-128}$.

Нужно найти число, которое при возведении в седьмую степень равно -128. Так как $2^7 = 128$, то $(-2)^7 = -128$, поскольку степень нечетная.

Следовательно, $\sqrt[7]{-128} = -2$.

Ответ: -2.

3)

Дано: Выражение $\sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9}$.

Найти: Значение выражения.

Решение:

Показатели корней одинаковы (5), поэтому используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9} = \sqrt[5]{27 \cdot 9}$

Для упрощения подкоренного выражения представим числа 27 и 9 как степени числа 3:

$27 = 3^3$

$9 = 3^2$

Тогда произведение под корнем будет:

$27 \cdot 9 = 3^3 \cdot 3^2 = 3^{3+2} = 3^5$

Теперь подставим это значение обратно в корень:

$\sqrt[5]{3^5}$

По определению корня, $\sqrt[n]{a^n} = a$.

Следовательно, $\sqrt[5]{3^5} = 3$.

Ответ: 3.

4)

Дано: Выражение $\sqrt[3]{-25} \cdot \sqrt[6]{25}$.

Найти: Значение выражения.

Решение:

Поскольку показатель кубического корня (3) нечетный, мы можем вынести знак минус за знак корня: $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$.

$\sqrt[3]{-25} = -\sqrt[3]{25}$

Теперь выражение выглядит так: $-\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[6]{25}$.

Для умножения корней с разными показателями, представим их в виде степеней с рациональными показателями:

$\sqrt[3]{25} = 25^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[6]{25} = 25^{\frac{1}{6}}$

Подставим это в наше выражение:

$-(25^{\frac{1}{3}} \cdot 25^{\frac{1}{6}})$

Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием, складывая показатели:

$-(25^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}})$

Сложим дроби в показателе, приведя их к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Теперь выражение имеет вид:

$-(25^{\frac{1}{2}})$

Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню:

$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$

Следовательно, итоговый результат равен $-5$.

Ответ: -5.

82.

1) $\frac{\sqrt[3]{-64}}{\sqrt[3]{-8}};$

2) $\frac{\sqrt[4]{128}}{\sqrt[4]{8}};$

3) $\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{-9}};$

4) $\frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{2}}.$

1)

Дано:

Выражение $\frac{\sqrt[3]{-64}}{\sqrt[3]{-8}}$.

Найти:

Найти значение данного выражения.

Решение:

Для упрощения дроби воспользуемся свойством частного корней одной степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$, где $b \ne 0$.

Применим это свойство к заданному выражению:

$\frac{\sqrt[3]{-64}}{\sqrt[3]{-8}} = \sqrt[3]{\frac{-64}{-8}}$

Выполним деление под знаком корня:

$\frac{-64}{-8} = 8$

Теперь необходимо извлечь кубический корень из 8:

$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Таким образом, значение исходного выражения равно 2.

Ответ: 2

2)

Дано:

Выражение $\frac{\sqrt[4]{128}}{\sqrt[4]{8}}$.

Найти:

Найти значение данного выражения.

Решение:

Используем свойство частного корней одной степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. Для корней четной степени подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю, что выполняется в данном случае.

Применим свойство:

$\frac{\sqrt[4]{128}}{\sqrt[4]{8}} = \sqrt[4]{\frac{128}{8}}$

Вычислим частное под корнем:

$\frac{128}{8} = 16$

Теперь извлечем корень четвертой степени из 16:

$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Следовательно, значение выражения равно 2.

Ответ: 2

3)

Дано:

Выражение $\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{-9}}$.

Найти:

Найти значение данного выражения.

Решение:

Воспользуемся тем же свойством корней, что и в предыдущих примерах: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Подставим наши значения в формулу:

$\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{-9}} = \sqrt[3]{\frac{243}{-9}}$

Произведем деление подкоренного выражения:

$\frac{243}{-9} = -27$

Теперь нужно найти кубический корень из -27:

$\sqrt[3]{-27} = -3$, поскольку $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$.

Таким образом, итоговый результат равен -3.

Ответ: -3

4)

Дано:

Выражение $\frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{2}}$.

Найти:

Найти значение данного выражения.

Решение:

Применим свойство частного корней одной степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Применяем это правило к нашему выражению:

$\frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{2}} = \sqrt[6]{\frac{128}{2}}$

Выполним деление под знаком корня:

$\frac{128}{2} = 64$

Теперь необходимо извлечь корень шестой степени из 64:

$\sqrt[6]{64} = 2$, так как $2^6 = 64$.

Значит, значение выражения равно 2.

Ответ: 2

83. Вынесите множитель из-под корня ($x>0, y>0$):

1) $\sqrt[6]{64x^{11}y^{13}}$;

2) $\sqrt[4]{256x^8 \cdot y^9}$;

3) $\sqrt[3]{54x^{12} \cdot y^{13}}$;

4) $\sqrt[4]{16x^5y^7}$.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[6]{64x^{11}y^{13}}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители таким образом, чтобы степени этих множителей были кратны показателю корня, то есть 6. Учтем, что по условию $x>0$ и $y>0$. Представим число 64 как $2^6$. Степень переменной $x$ представим как $x^{11} = x^6 \cdot x^5$. Степень переменной $y$ представим как $y^{13} = y^{12} \cdot y^1 = (y^2)^6 \cdot y$. Теперь подставим эти разложения в исходное выражение: $\sqrt[6]{64x^{11}y^{13}} = \sqrt[6]{2^6 \cdot x^6 \cdot x^5 \cdot (y^2)^6 \cdot y}$. Сгруппируем множители, которые можно извлечь из-под корня: $\sqrt[6]{(2 \cdot x \cdot y^2)^6 \cdot x^5y}$. Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^n \cdot b} = a \sqrt[n]{b}$ (для $a>0$), выносим множитель: $2xy^2\sqrt[6]{x^5y}$. Ответ: $2xy^2\sqrt[6]{x^5y}$

2) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{256x^8 \cdot y^9}$. Показатель корня равен 4. Разложим подкоренное выражение на множители. Число 256 можно представить как $4^4$. Степень $x^8$ можно представить как $(x^2)^4$. Степень $y^9$ можно представить как $y^8 \cdot y = (y^2)^4 \cdot y$. Подставим разложения в выражение: $\sqrt[4]{256x^8y^9} = \sqrt[4]{4^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^2)^4 \cdot y}$. Сгруппируем множители с показателем 4: $\sqrt[4]{(4x^2y^2)^4 \cdot y}$. Вынесем множитель из-под знака корня, учитывая что $x>0, y>0$: $4x^2y^2\sqrt[4]{y}$. Ответ: $4x^2y^2\sqrt[4]{y}$

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{54x^{12} \cdot y^{13}}$. Показатель корня равен 3. Разложим подкоренное выражение на множители, степени которых кратны 3. Число 54 представим как $27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$. Степень $x^{12}$ представим как $(x^4)^3$. Степень $y^{13}$ представим как $y^{12} \cdot y = (y^4)^3 \cdot y$. Подставим разложения в выражение: $\sqrt[3]{54x^{12}y^{13}} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2 \cdot (x^4)^3 \cdot (y^4)^3 \cdot y}$. Сгруппируем множители: $\sqrt[3]{(3x^4y^4)^3 \cdot 2y}$. Вынесем множитель из-под знака корня: $3x^4y^4\sqrt[3]{2y}$. Ответ: $3x^4y^4\sqrt[3]{2y}$

4) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{16x^5y^7}$. Показатель корня равен 4. Разложим подкоренное выражение. Число 16 представим как $2^4$. Степень $x^5$ представим как $x^4 \cdot x$. Степень $y^7$ представим как $y^4 \cdot y^3$. Подставим разложения в выражение: $\sqrt[4]{16x^5y^7} = \sqrt[4]{2^4 \cdot x^4 \cdot x \cdot y^4 \cdot y^3}$. Сгруппируем множители, которые можно извлечь из-под корня: $\sqrt[4]{(2xy)^4 \cdot xy^3}$. Вынесем множитель из-под знака корня, учитывая что $x>0, y>0$: $2xy\sqrt[4]{xy^3}$. Ответ: $2xy\sqrt[4]{xy^3}$

84. Внесите множитель под знак корня (x>0, y>0):

1) $x^2 y \sqrt[3]{4}$;

2) $xy^2 \sqrt[5]{\frac{3y^3}{x^4}}$;

3) $x^2 y^3 \sqrt[4]{8}$;

4) $xy^2 \sqrt[3]{-5}$.

1) Чтобы внести множитель $x^2 y^3$ под знак кубического корня, необходимо возвести этот множитель в третью степень и умножить на подкоренное выражение. По условию $x>0$ и $y>0$, поэтому множитель $x^2 y^3$ является положительным числом.
Выполним преобразование:
$x^2 y^3 \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{(x^2 y^3)^3 \cdot 4}$
Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$\sqrt[3]{(x^2)^3 (y^3)^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{x^{2 \cdot 3} y^{3 \cdot 3} \cdot 4} = \sqrt[3]{x^6 y^9 \cdot 4} = \sqrt[3]{4x^6 y^9}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4x^6 y^9}$.

2) Вносим множитель $xy^2$ под знак корня пятой степени. Для этого возводим множитель в пятую степень и умножаем его на выражение, стоящее под корнем. Так как $x>0$ и $y>0$, множитель $xy^2$ положителен.
Выполним преобразование:
$xy^2 \sqrt[5]{\frac{3y^3}{x^4}} = \sqrt[5]{(xy^2)^5 \cdot \frac{3y^3}{x^4}} = \sqrt[5]{x^5 (y^2)^5 \cdot \frac{3y^3}{x^4}} = \sqrt[5]{x^5 y^{10} \cdot \frac{3y^3}{x^4}}$.
Теперь умножим выражения под корнем, используя свойства степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\sqrt[5]{\frac{3x^5 y^{10} y^3}{x^4}} = \sqrt[5]{3x^{5-4} y^{10+3}} = \sqrt[5]{3xy^{13}}$.

Ответ: $\sqrt[5]{3xy^{13}}$.

3) Чтобы внести множитель $x^2 y^3$ под знак корня четвертой степени, нужно возвести множитель в четвертую степень. Поскольку $x>0$ и $y>0$, множитель $x^2 y^3$ является положительным, и мы можем внести его под корень четной степени без дополнительных условий.
Выполним преобразование:
$x^2 y^3 \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{(x^2 y^3)^4 \cdot 8}$
Применим свойства степеней:
$\sqrt[4]{(x^2)^4 (y^3)^4 \cdot 8} = \sqrt[4]{x^{2 \cdot 4} y^{3 \cdot 4} \cdot 8} = \sqrt[4]{x^8 y^{12} \cdot 8} = \sqrt[4]{8x^8 y^{12}}$.

Ответ: $\sqrt[4]{8x^8 y^{12}}$.

4) Вносим множитель $xy^2$ под знак кубического корня. Степень корня нечетная, поэтому знак множителя не имеет значения, но по условию $x>0, y>0$ множитель $xy^2$ положителен. Возводим множитель в третью степень.
Выполним преобразование:
$xy^2 \sqrt[3]{-5} = \sqrt[3]{(xy^2)^3 \cdot (-5)}$
Раскроем скобки, используя свойства степеней:
$\sqrt[3]{x^3 (y^2)^3 \cdot (-5)} = \sqrt[3]{x^3 y^{2 \cdot 3} \cdot (-5)} = \sqrt[3]{-5x^3 y^6}$.

Ответ: $\sqrt[3]{-5x^3 y^6}$.