Номер 82, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

82.

1) $\frac{\sqrt[3]{-64}}{\sqrt[3]{-8}};$

2) $\frac{\sqrt[4]{128}}{\sqrt[4]{8}};$

3) $\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{-9}};$

4) $\frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{2}}.$

1)

Дано:

Выражение $\frac{\sqrt[3]{-64}}{\sqrt[3]{-8}}$.

Найти:

Найти значение данного выражения.

Решение:

Для упрощения дроби воспользуемся свойством частного корней одной степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$, где $b \ne 0$.

Применим это свойство к заданному выражению:

$\frac{\sqrt[3]{-64}}{\sqrt[3]{-8}} = \sqrt[3]{\frac{-64}{-8}}$

Выполним деление под знаком корня:

$\frac{-64}{-8} = 8$

Теперь необходимо извлечь кубический корень из 8:

$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Таким образом, значение исходного выражения равно 2.

Ответ: 2

2)

Дано:

Выражение $\frac{\sqrt[4]{128}}{\sqrt[4]{8}}$.

Найти:

Найти значение данного выражения.

Решение:

Используем свойство частного корней одной степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. Для корней четной степени подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю, что выполняется в данном случае.

Применим свойство:

$\frac{\sqrt[4]{128}}{\sqrt[4]{8}} = \sqrt[4]{\frac{128}{8}}$

Вычислим частное под корнем:

$\frac{128}{8} = 16$

Теперь извлечем корень четвертой степени из 16:

$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Следовательно, значение выражения равно 2.

Ответ: 2

3)

Дано:

Выражение $\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{-9}}$.

Найти:

Найти значение данного выражения.

Решение:

Воспользуемся тем же свойством корней, что и в предыдущих примерах: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Подставим наши значения в формулу:

$\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{-9}} = \sqrt[3]{\frac{243}{-9}}$

Произведем деление подкоренного выражения:

$\frac{243}{-9} = -27$

Теперь нужно найти кубический корень из -27:

$\sqrt[3]{-27} = -3$, поскольку $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$.

Таким образом, итоговый результат равен -3.

Ответ: -3

4)

Дано:

Выражение $\frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{2}}$.

Найти:

Найти значение данного выражения.

Решение:

Применим свойство частного корней одной степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Применяем это правило к нашему выражению:

$\frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{2}} = \sqrt[6]{\frac{128}{2}}$

Выполним деление под знаком корня:

$\frac{128}{2} = 64$

Теперь необходимо извлечь корень шестой степени из 64:

$\sqrt[6]{64} = 2$, так как $2^6 = 64$.

Значит, значение выражения равно 2.

Ответ: 2