Номер 80, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

80.

1) $ \sqrt[5]{625 \cdot 160} $;

2) $ \sqrt[3]{24 \cdot 9} $;

3) $ \sqrt[4]{27 \cdot 48} $;

4) $ \sqrt[3]{45 \cdot 75} $.

1)

Дано:

Вычислить значение выражения $\sqrt[5]{625 \cdot 160}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Для вычисления значения корня представим подкоренное выражение в виде произведения множителей в пятой степени. Для этого разложим числа 625 и 160 на простые множители.

Разложение числа 625:

$625 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$.

Разложение числа 160:

$160 = 16 \cdot 10 = 2^4 \cdot (2 \cdot 5) = 2^5 \cdot 5$.

Теперь перемножим полученные разложения под знаком корня:

$625 \cdot 160 = 5^4 \cdot (2^5 \cdot 5) = 2^5 \cdot 5^4 \cdot 5^1 = 2^5 \cdot 5^{4+1} = 2^5 \cdot 5^5$.

Используем свойство корня $\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = \sqrt[n]{(a \cdot b)^n} = a \cdot b$.

$\sqrt[5]{625 \cdot 160} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 5^5} = \sqrt[5]{(2 \cdot 5)^5} = 2 \cdot 5 = 10$.

Ответ: 10.

2)

Дано:

Вычислить значение выражения $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Для вычисления значения корня представим подкоренное выражение в виде произведения множителей в третьей степени. Разложим числа 24 и 9 на множители.

Разложение числа 24:

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Разложение числа 9:

$9 = 3^2$.

Перемножим разложения под корнем:

$24 \cdot 9 = (2^3 \cdot 3) \cdot 3^2 = 2^3 \cdot 3^{1+2} = 2^3 \cdot 3^3$.

Используем свойство корня $\sqrt[n]{(a \cdot b)^n} = a \cdot b$.

$\sqrt[3]{24 \cdot 9} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{(2 \cdot 3)^3} = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6.

3)

Дано:

Вычислить значение выражения $\sqrt[4]{27 \cdot 48}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей в четвертой степени. Разложим числа 27 и 48 на множители.

Разложение числа 27:

$27 = 3^3$.

Разложение числа 48:

$48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.

Перемножим разложения под корнем:

$27 \cdot 48 = 3^3 \cdot (2^4 \cdot 3) = 2^4 \cdot 3^{3+1} = 2^4 \cdot 3^4$.

Используем свойство корня $\sqrt[n]{(a \cdot b)^n} = a \cdot b$.

$\sqrt[4]{27 \cdot 48} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3)^4} = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6.

4)

Дано:

Вычислить значение выражения $\sqrt[3]{45 \cdot 75}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей в третьей степени. Разложим числа 45 и 75 на множители.

Разложение числа 45:

$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

Разложение числа 75:

$75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$.

Перемножим разложения под корнем:

$45 \cdot 75 = (3^2 \cdot 5) \cdot (5^2 \cdot 3) = 3^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 5^2 = 3^{2+1} \cdot 5^{1+2} = 3^3 \cdot 5^3$.

Используем свойство корня $\sqrt[n]{(a \cdot b)^n} = a \cdot b$.

$\sqrt[3]{45 \cdot 75} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{(3 \cdot 5)^3} = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: 15.