Номер 85, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Упростите выражения (85–86):

85.1) $\sqrt[7]{x^7}$, рассмотрите два случая: $x \ge 0$; $x < 0;

2) $\sqrt[8]{x^8}$, $x \ge 0;$

3) $\sqrt[5]{x^5};$

4) $\sqrt{x^2}$, $x \ge 0.$

1) $\sqrt[7]{x^7}$, рассмотрите два случая: $x \ge 0$; $x < 0$

Решение

Рассмотрим выражение $\sqrt[7]{x^7}$. По условию, необходимо рассмотреть два случая: $x \ge 0$ и $x < 0$.

Общее правило для корней нечетной степени гласит, что для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n$ (где $n \ge 3$) справедливо равенство: $\sqrt[n]{a^n} = a$.

В данном выражении показатель корня $n=7$ является нечетным. Следовательно, мы можем применить это правило.

Случай 1: $x \ge 0$

Применяя указанное выше свойство для неотрицательных $x$, получаем: $\sqrt[7]{x^7} = x$.

Случай 2: $x < 0$

Свойство корня нечетной степени справедливо и для отрицательных чисел. Поэтому, если $x < 0$, то $\sqrt[7]{x^7} = x$. Например, если $x=-2$, то $\sqrt[7]{(-2)^7} = \sqrt[7]{-128} = -2$.

Таким образом, выражение $\sqrt[7]{x^7}$ равно $x$ для любых действительных чисел $x$.

Ответ: $x$.

2) $\sqrt[8]{x^8}$, $x \ge 0$

Решение

Необходимо упростить выражение $\sqrt[8]{x^8}$ при условии $x \ge 0$.

Общее правило для корней четной степени гласит, что для любого действительного числа $a$ и любого четного натурального числа $n$ справедливо равенство: $\sqrt[n]{a^n} = |a|$.

В данном выражении показатель корня $n=8$ является четным. Применяя это правило, получаем: $\sqrt[8]{x^8} = |x|$.

Согласно условию задачи, переменная $x$ неотрицательна, то есть $x \ge 0$. По определению модуля, для любого неотрицательного числа $x$ верно, что $|x| = x$.

Подставляя это в наше выражение, получаем окончательный результат: $\sqrt[8]{x^8} = x$.

Ответ: $x$.

3) $\sqrt[5]{x^5}$

Решение

Необходимо упростить выражение $\sqrt[5]{x^5}$.

Показатель корня $n=5$ является нечетным числом.

Для корней нечетной степени справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = a$ для любого действительного числа $a$.

Применяя это правило к нашему выражению, получаем: $\sqrt[5]{x^5} = x$.

Поскольку никаких дополнительных условий на $x$ не наложено, это является окончательным ответом.

Ответ: $x$.

4) $\sqrt{x^2}$, $x \ge 0$

Решение

Необходимо упростить выражение $\sqrt{x^2}$ при условии $x \ge 0$.

Квадратный корень — это корень с показателем $n=2$, который является четным числом.

Для корней четной степени справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. Применяя его, получаем: $\sqrt{x^2} = |x|$.

По условию задачи, $x \ge 0$. Для любого неотрицательного числа $x$ модуль равен самому числу, то есть $|x| = x$.

Следовательно, $\sqrt{x^2} = x$.

Ответ: $x$.