Номер 87, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Вычислите (87–89):

87. 1) $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{-9}$;

2) $\sqrt[3]{500} \cdot \sqrt[3]{\frac{4}{25}} \cdot \sqrt[3]{100}$;

3) $\frac{\sqrt[3]{28} \cdot \sqrt[3]{45}}{\sqrt[3]{35}} \cdot \sqrt[3]{6}$;

4) $\frac{\sqrt[3]{81} \cdot \sqrt[3]{256}}{\sqrt[3]{12}}$.

1)

Дано:

Выражение $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{-9}$

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Сгруппируем множители с одинаковыми показателями корня (кубические с кубическими, квадратные с квадратными):

$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{-9} = (\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{-9}) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{27})$

Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ для каждой группы:

Для кубических корней: $\sqrt[3]{3 \cdot (-9)} = \sqrt[3]{-27}$

Для квадратных корней: $\sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81}$

Теперь вычислим значения полученных корней:

$\sqrt[3]{-27} = -3$

$\sqrt{81} = 9$

Перемножим полученные результаты:

$(-3) \cdot 9 = -27$

Ответ: -27.

2)

Дано:

Выражение $\sqrt[3]{500} \cdot \sqrt[3]{\frac{4}{25}} \cdot \sqrt[3]{100}$

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Так как все корни имеют одинаковый показатель (кубический корень), воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{abc}$ и объединим все множители под одним знаком корня:

$\sqrt[3]{500 \cdot \frac{4}{25} \cdot 100}$

Выполним вычисления под корнем:

$500 \cdot \frac{4}{25} \cdot 100 = \frac{500}{25} \cdot 4 \cdot 100 = 20 \cdot 4 \cdot 100 = 80 \cdot 100 = 8000$

Теперь извлечем кубический корень из полученного числа:

$\sqrt[3]{8000} = \sqrt[3]{8 \cdot 1000} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 10^3} = \sqrt[3]{(2 \cdot 10)^3} = \sqrt[3]{20^3} = 20$

Ответ: 20.

3)

Дано:

Выражение $\frac{\sqrt[3]{28} \cdot \sqrt[3]{45}}{\sqrt[3]{35}} \cdot \sqrt[3]{6}$

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Используем свойства корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ и $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, чтобы объединить все числа под одним знаком кубического корня:

$\sqrt[3]{\frac{28 \cdot 45}{35}} \cdot \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{\frac{28 \cdot 45 \cdot 6}{35}}$

Для упрощения подкоренного выражения разложим числа на простые множители:

$28 = 2^2 \cdot 7$

$45 = 3^2 \cdot 5$

$6 = 2 \cdot 3$

$35 = 5 \cdot 7$

Подставим разложения в выражение под корнем:

$\frac{(2^2 \cdot 7) \cdot (3^2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3)}{5 \cdot 7}$

Сократим общие множители (5 и 7) в числителе и знаменателе:

$(2^2 \cdot 2) \cdot (3^2 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3^3$

Теперь извлечем кубический корень:

$\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{(2 \cdot 3)^3} = \sqrt[3]{6^3} = 6$

Ответ: 6.

4)

Дано:

Выражение $\frac{\sqrt[3]{81} \cdot \sqrt[3]{256}}{\sqrt[3]{12}}$

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Используем свойства корней, чтобы объединить все числа под одним знаком кубического корня:

$\sqrt[3]{\frac{81 \cdot 256}{12}}$

Для упрощения подкоренного выражения разложим числа на простые множители:

$81 = 3^4$

$256 = 2^8$

$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Подставим разложения в выражение под корнем:

$\frac{3^4 \cdot 2^8}{2^2 \cdot 3}$

Упростим выражение, используя свойства степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{4-1} \cdot 2^{8-2} = 3^3 \cdot 2^6$

Теперь извлечем кубический корень:

$\sqrt[3]{3^3 \cdot 2^6} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2^6} = 3^{3/3} \cdot 2^{6/3} = 3^1 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$

Ответ: 12.