Номер 84, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

84. Внесите множитель под знак корня (x>0, y>0):

1) $x^2 y \sqrt[3]{4}$;

2) $xy^2 \sqrt[5]{\frac{3y^3}{x^4}}$;

3) $x^2 y^3 \sqrt[4]{8}$;

4) $xy^2 \sqrt[3]{-5}$.

1) Чтобы внести множитель $x^2 y^3$ под знак кубического корня, необходимо возвести этот множитель в третью степень и умножить на подкоренное выражение. По условию $x>0$ и $y>0$, поэтому множитель $x^2 y^3$ является положительным числом.
Выполним преобразование:
$x^2 y^3 \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{(x^2 y^3)^3 \cdot 4}$
Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$\sqrt[3]{(x^2)^3 (y^3)^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{x^{2 \cdot 3} y^{3 \cdot 3} \cdot 4} = \sqrt[3]{x^6 y^9 \cdot 4} = \sqrt[3]{4x^6 y^9}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4x^6 y^9}$.

2) Вносим множитель $xy^2$ под знак корня пятой степени. Для этого возводим множитель в пятую степень и умножаем его на выражение, стоящее под корнем. Так как $x>0$ и $y>0$, множитель $xy^2$ положителен.
Выполним преобразование:
$xy^2 \sqrt[5]{\frac{3y^3}{x^4}} = \sqrt[5]{(xy^2)^5 \cdot \frac{3y^3}{x^4}} = \sqrt[5]{x^5 (y^2)^5 \cdot \frac{3y^3}{x^4}} = \sqrt[5]{x^5 y^{10} \cdot \frac{3y^3}{x^4}}$.
Теперь умножим выражения под корнем, используя свойства степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\sqrt[5]{\frac{3x^5 y^{10} y^3}{x^4}} = \sqrt[5]{3x^{5-4} y^{10+3}} = \sqrt[5]{3xy^{13}}$.

Ответ: $\sqrt[5]{3xy^{13}}$.

3) Чтобы внести множитель $x^2 y^3$ под знак корня четвертой степени, нужно возвести множитель в четвертую степень. Поскольку $x>0$ и $y>0$, множитель $x^2 y^3$ является положительным, и мы можем внести его под корень четной степени без дополнительных условий.
Выполним преобразование:
$x^2 y^3 \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{(x^2 y^3)^4 \cdot 8}$
Применим свойства степеней:
$\sqrt[4]{(x^2)^4 (y^3)^4 \cdot 8} = \sqrt[4]{x^{2 \cdot 4} y^{3 \cdot 4} \cdot 8} = \sqrt[4]{x^8 y^{12} \cdot 8} = \sqrt[4]{8x^8 y^{12}}$.

Ответ: $\sqrt[4]{8x^8 y^{12}}$.

4) Вносим множитель $xy^2$ под знак кубического корня. Степень корня нечетная, поэтому знак множителя не имеет значения, но по условию $x>0, y>0$ множитель $xy^2$ положителен. Возводим множитель в третью степень.
Выполним преобразование:
$xy^2 \sqrt[3]{-5} = \sqrt[3]{(xy^2)^3 \cdot (-5)}$
Раскроем скобки, используя свойства степеней:
$\sqrt[3]{x^3 (y^2)^3 \cdot (-5)} = \sqrt[3]{x^3 y^{2 \cdot 3} \cdot (-5)} = \sqrt[3]{-5x^3 y^6}$.

Ответ: $\sqrt[3]{-5x^3 y^6}$.