Номер 83, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

83. Вынесите множитель из-под корня ($x>0, y>0$):

1) $\sqrt[6]{64x^{11}y^{13}}$;

2) $\sqrt[4]{256x^8 \cdot y^9}$;

3) $\sqrt[3]{54x^{12} \cdot y^{13}}$;

4) $\sqrt[4]{16x^5y^7}$.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[6]{64x^{11}y^{13}}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители таким образом, чтобы степени этих множителей были кратны показателю корня, то есть 6. Учтем, что по условию $x>0$ и $y>0$. Представим число 64 как $2^6$. Степень переменной $x$ представим как $x^{11} = x^6 \cdot x^5$. Степень переменной $y$ представим как $y^{13} = y^{12} \cdot y^1 = (y^2)^6 \cdot y$. Теперь подставим эти разложения в исходное выражение: $\sqrt[6]{64x^{11}y^{13}} = \sqrt[6]{2^6 \cdot x^6 \cdot x^5 \cdot (y^2)^6 \cdot y}$. Сгруппируем множители, которые можно извлечь из-под корня: $\sqrt[6]{(2 \cdot x \cdot y^2)^6 \cdot x^5y}$. Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^n \cdot b} = a \sqrt[n]{b}$ (для $a>0$), выносим множитель: $2xy^2\sqrt[6]{x^5y}$. Ответ: $2xy^2\sqrt[6]{x^5y}$

2) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{256x^8 \cdot y^9}$. Показатель корня равен 4. Разложим подкоренное выражение на множители. Число 256 можно представить как $4^4$. Степень $x^8$ можно представить как $(x^2)^4$. Степень $y^9$ можно представить как $y^8 \cdot y = (y^2)^4 \cdot y$. Подставим разложения в выражение: $\sqrt[4]{256x^8y^9} = \sqrt[4]{4^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^2)^4 \cdot y}$. Сгруппируем множители с показателем 4: $\sqrt[4]{(4x^2y^2)^4 \cdot y}$. Вынесем множитель из-под знака корня, учитывая что $x>0, y>0$: $4x^2y^2\sqrt[4]{y}$. Ответ: $4x^2y^2\sqrt[4]{y}$

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{54x^{12} \cdot y^{13}}$. Показатель корня равен 3. Разложим подкоренное выражение на множители, степени которых кратны 3. Число 54 представим как $27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$. Степень $x^{12}$ представим как $(x^4)^3$. Степень $y^{13}$ представим как $y^{12} \cdot y = (y^4)^3 \cdot y$. Подставим разложения в выражение: $\sqrt[3]{54x^{12}y^{13}} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2 \cdot (x^4)^3 \cdot (y^4)^3 \cdot y}$. Сгруппируем множители: $\sqrt[3]{(3x^4y^4)^3 \cdot 2y}$. Вынесем множитель из-под знака корня: $3x^4y^4\sqrt[3]{2y}$. Ответ: $3x^4y^4\sqrt[3]{2y}$

4) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{16x^5y^7}$. Показатель корня равен 4. Разложим подкоренное выражение. Число 16 представим как $2^4$. Степень $x^5$ представим как $x^4 \cdot x$. Степень $y^7$ представим как $y^4 \cdot y^3$. Подставим разложения в выражение: $\sqrt[4]{16x^5y^7} = \sqrt[4]{2^4 \cdot x^4 \cdot x \cdot y^4 \cdot y^3}$. Сгруппируем множители, которые можно извлечь из-под корня: $\sqrt[4]{(2xy)^4 \cdot xy^3}$. Вынесем множитель из-под знака корня, учитывая что $x>0, y>0$: $2xy\sqrt[4]{xy^3}$. Ответ: $2xy\sqrt[4]{xy^3}$