Номер 76, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите уравнения (76–77):

76.1) $x^3 + 8 = 0$;

2) $x^6 = 7$;

3) $x^3 = 4$;

4) $x^4 = 16$.

1) $x^3 + 8 = 0$

Решение:

Перенесем 8 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x^3 = -8$

Для нахождения $x$ необходимо извлечь кубический корень из -8.

$x = \sqrt[3]{-8}$

Поскольку $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$, корень равен -2.

$x = -2$

Убедимся, что других действительных корней нет. Для этого разложим исходное уравнение на множители по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Первый случай: $x+2=0$, откуда $x = -2$.

Второй случай: $x^2 - 2x + 4 = 0$. Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), у этого уравнения нет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением является $x = -2$.

Ответ: $x = -2$.

2) $x^6 = 7$

Решение:

Данное уравнение имеет вид $x^n = a$, где показатель степени $n=6$ является четным числом, а правая часть $a=7$ — положительным числом.

Уравнения такого типа имеют два действительных корня, которые являются противоположными числами.

Для нахождения $x$ извлечем корень шестой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt[6]{7}$

Таким образом, решениями уравнения являются $x_1 = \sqrt[6]{7}$ и $x_2 = -\sqrt[6]{7}$.

Ответ: $x = \pm\sqrt[6]{7}$.

3) $x^3 = 4$

Решение:

Данное уравнение имеет вид $x^n = a$, где показатель степени $n=3$ является нечетным числом.

Уравнения такого типа всегда имеют ровно один действительный корень.

Для нахождения $x$ извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{4}$

Это иррациональное число и является точным решением уравнения.

Ответ: $x = \sqrt[3]{4}$.

4) $x^4 = 16$

Решение:

Данное уравнение имеет вид $x^n = a$, где показатель степени $n=4$ является четным числом, а правая часть $a=16$ — положительным числом.

Уравнения такого типа имеют два действительных корня.

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt[4]{16}$

Найдем значение корня: $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Альтернативный способ решения — разложение на множители:

$x^4 - 16 = 0$

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0$

Еще раз применим формулу разности квадратов для первого множителя:

$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x - 2 = 0 \implies x = 2$.

2. $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

3. $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Оба способа приводят к одинаковым результатам.

Ответ: $x = \pm 2$.