Номер 72, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Проверьте справедливость следующих равенств (72–73):

72.1) $\sqrt[3]{64} = 4;$ 2) $\sqrt[5]{-1} = -1;$ 3) $\sqrt[10]{1024} = 2;$ 4) $\sqrt[5]{-243} = -3.$

1) $\sqrt[3]{64} = 4$

Решение:

Согласно определению корня n-ой степени, равенство $\sqrt[n]{a} = b$ является верным, если выполняется равенство $b^n = a$. Для корня нечетной степени (в данном случае $n=3$) это определение справедливо для любого действительного числа $a$.

Проверим, выполняется ли условие $4^3 = 64$.

Вычислим $4^3$: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Так как $4^3 = 64$, исходное равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.

2) $\sqrt[5]{-1} = -1$

Решение:

Для корня нечетной степени ($n=5$) равенство $\sqrt[n]{a} = b$ справедливо, если $b^n = a$.

Проверим, выполняется ли условие $(-1)^5 = -1$.

Возводим $-1$ в пятую степень: $(-1)^5 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$. Так как степень нечетная, результат отрицательный.

Поскольку $(-1)^5 = -1$, исходное равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.

3) $\sqrt[10]{1024} = 2$

Решение:

В данном случае мы имеем дело с арифметическим корнем четной степени ($n=10$). Равенство $\sqrt[n]{a} = b$ для четного $n$ справедливо, если выполняются два условия: $b \geq 0$ и $b^n = a$.

Проверим оба условия для $a=1024$ и $b=2$.

1. Условие $b \geq 0$: $2 \geq 0$. Условие выполняется.

2. Условие $b^n = a$: $2^{10} = 1024$.

Вычислим $2^{10}$: $2^{10} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1024$.

Оба условия выполнены, следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.

4) $\sqrt[5]{-243} = -3$

Решение:

Для корня нечетной степени ($n=5$) равенство $\sqrt[n]{a} = b$ справедливо, если $b^n = a$.

Проверим, выполняется ли условие $(-3)^5 = -243$.

Возводим $-3$ в пятую степень. Так как степень нечетная, результат будет отрицательным: $(-3)^5 = -(3^5)$.

Вычислим $3^5$: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.

Следовательно, $(-3)^5 = -243$.

Поскольку $(-3)^5 = -243$, исходное равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.