Номер 67, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

67. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \cos x, y = \sin x, x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{2};$

2) $y = 2 \cos x, y = 2 \sin x, x = 0, x = \frac{\pi}{4};$

3) $y = x, y = \frac{1}{x^2}, x = 2;$

4) $y = \frac{2}{x^2}, y = 2x, x = \frac{1}{2}.$

1) y = cosx, y = sinx, x = $\frac{\pi}{4}$, x = $\frac{\pi}{2}$

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y=\cos x$, $y=\sin x$, $x=\frac{\pi}{4}$, $x=\frac{\pi}{2}$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми $y=f(x)$, $y=g(x)$ и прямыми $x=a$, $x=b$, где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$

В данном случае $a = \frac{\pi}{4}$ и $b = \frac{\pi}{2}$. Найдём, какая из функций больше на этом интервале. Сравним значения функций $\sin x$ и $\cos x$ на отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$.

В точке $x = \frac{\pi}{4}$ имеем $\sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$, функция $\sin x$ возрастает от $\frac{\sqrt{2}}{2}$ до 1, а функция $\cos x$ убывает от $\frac{\sqrt{2}}{2}$ до 0. Следовательно, на отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $\sin x \ge \cos x$.

Таким образом, $f(x) = \sin x$ и $g(x) = \cos x$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = (-\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4})) = (0 - 1) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -1 - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$.

Ответ: $S = \sqrt{2} - 1$.

2) y = 2cosx, y = 2sinx, x = 0, x = $\frac{\pi}{4}$

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y=2\cos x$, $y=2\sin x$, $x=0$, $x=\frac{\pi}{4}$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

На отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$, сравним функции $2\cos x$ и $2\sin x$.

При $x=0$, $2\cos(0) = 2$, а $2\sin(0) = 0$.

При $x=\frac{\pi}{4}$, $2\cos(\frac{\pi}{4}) = 2\sin(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

На интервале $(0, \frac{\pi}{4})$ значение $\cos x$ больше $\sin x$, следовательно, $2\cos x \ge 2\sin x$ на всем отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$.

Таким образом, $f(x) = 2\cos x$ и $g(x) = 2\sin x$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{0}^{\pi/4} (2\cos x - 2\sin x) dx = 2 \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) dx = 2 [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4} = 2 ((\sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4})) - (\sin(0) + \cos(0))) = 2 ((\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1)) = 2(\sqrt{2} - 1)$.

Ответ: $S = 2\sqrt{2} - 2$.

3) y = x, y = $\frac{1}{x^2}$, x = 2

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y=x$, $y=\frac{1}{x^2}$, $x=2$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Для нахождения пределов интегрирования найдем точку пересечения кривых $y=x$ и $y=\frac{1}{x^2}$:

$x = \frac{1}{x^2} \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Фигура ограничена линиями $y=x$, $y=\frac{1}{x^2}$ и $x=2$. Пределами интегрирования будут $x=1$ (точка пересечения) и $x=2$ (заданная прямая). Итак, $a=1$, $b=2$.

На отрезке $[1, 2]$ сравним функции. Возьмем любую точку из интервала, например $x=1.5$.

$y=x=1.5$.

$y=\frac{1}{x^2}=\frac{1}{1.5^2} = \frac{1}{2.25} \approx 0.44$.

Так как $1.5 > 0.44$, на отрезке $[1, 2]$ выполняется неравенство $x \ge \frac{1}{x^2}$.

Следовательно, $f(x)=x$ и $g(x)=\frac{1}{x^2}$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{1}^{2} (x - \frac{1}{x^2}) dx = \int_{1}^{2} (x - x^{-2}) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^{-1}}{-1}]_{1}^{2} = [\frac{x^2}{2} + \frac{1}{x}]_{1}^{2} = (\frac{2^2}{2} + \frac{1}{2}) - (\frac{1^2}{2} + \frac{1}{1}) = (2 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + 1) = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: $S = 1$.

4) y = $\frac{2}{x^2}$, y = 2x, x = $\frac{1}{2}$

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y=\frac{2}{x^2}$, $y=2x$, $x=\frac{1}{2}$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Найдем точку пересечения кривых $y=\frac{2}{x^2}$ и $y=2x$:

$\frac{2}{x^2} = 2x \implies 2 = 2x^3 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Фигура ограничена линиями $y=\frac{2}{x^2}$, $y=2x$ и $x=\frac{1}{2}$. Пределами интегрирования будут $x=\frac{1}{2}$ (заданная прямая) и $x=1$ (точка пересечения). Итак, $a=1/2$, $b=1$.

На отрезке $[\frac{1}{2}, 1]$ сравним функции. Возьмем точку $x=0.75 = \frac{3}{4}$.

$y=2x = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.

$y=\frac{2}{x^2} = \frac{2}{(3/4)^2} = \frac{2}{9/16} = \frac{32}{9} \approx 3.56$.

Так как $3.56 > 1.5$, на отрезке $[\frac{1}{2}, 1]$ выполняется неравенство $\frac{2}{x^2} \ge 2x$.

Следовательно, $f(x)=\frac{2}{x^2}$ и $g(x)=2x$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{1/2}^{1} (\frac{2}{x^2} - 2x) dx = \int_{1/2}^{1} (2x^{-2} - 2x) dx = [-2x^{-1} - x^2]_{1/2}^{1} = [-\frac{2}{x} - x^2]_{1/2}^{1} = (-\frac{2}{1} - 1^2) - (-\frac{2}{1/2} - (\frac{1}{2})^2) = (-2 - 1) - (-4 - \frac{1}{4}) = -3 - (-\frac{17}{4}) = -3 + \frac{17}{4} = \frac{-12 + 17}{4} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $S = \frac{5}{4}$.