Номер 65, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

65. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций

1) $y = x + 1$ и $y = (x + 1)^3$;

2) $y = x^3$ и $y = 2x - x^3$.

1) Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций y = x + 1 и y = (x + 1)³

Дано:

Фигура ограничена графиками функций $y_1 = x + 1$ и $y_2 = (x + 1)^3$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций, необходимо сначала найти точки пересечения этих графиков. Для этого приравняем выражения для $y$:

$x + 1 = (x + 1)^3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$(x + 1)^3 - (x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x + 1)((x + 1)^2 - 1) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(x + 1)(x^2 + 2x + 1 - 1) = 0$

$(x + 1)(x^2 + 2x) = 0$

$(x + 1)x(x + 2) = 0$

Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 0$.

Графики пересекаются в трех точках, следовательно, они ограничивают две фигуры. Площадь искомой фигуры будет состоять из двух частей, так как знаки разности функций меняются в точке $x = -1$.

Определим, какая из функций больше на интервалах $[-2, -1]$ и $[-1, 0]$.

На интервале $[-2, -1]$, возьмем пробную точку $x = -1.5$:

$y_1(-1.5) = -1.5 + 1 = -0.5$

$y_2(-1.5) = (-1.5 + 1)^3 = (-0.5)^3 = -0.125$

Так как $-0.125 > -0.5$, то на интервале $[-2, -1]$ график функции $y = (x + 1)^3$ лежит выше графика $y = x + 1$.

На интервале $[-1, 0]$, возьмем пробную точку $x = -0.5$:

$y_1(-0.5) = -0.5 + 1 = 0.5$

$y_2(-0.5) = (-0.5 + 1)^3 = (0.5)^3 = 0.125$

Так как $0.5 > 0.125$, то на интервале $[-1, 0]$ график функции $y = x + 1$ лежит выше графика $y = (x + 1)^3$.

Площадь $S$ вычисляется как сумма двух интегралов:

$S = \int_{-2}^{-1} ((x+1)^3 - (x+1)) dx + \int_{-1}^{0} ((x+1) - (x+1)^3) dx$

Вычислим первый интеграл $S_1$:

$S_1 = \int_{-2}^{-1} ((x+1)^3 - (x+1)) dx = \left[ \frac{(x+1)^4}{4} - \frac{(x+1)^2}{2} \right]_{-2}^{-1}$

$= \left( \frac{(-1+1)^4}{4} - \frac{(-1+1)^2}{2} \right) - \left( \frac{(-2+1)^4}{4} - \frac{(-2+1)^2}{2} \right)$

$= (0 - 0) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^2}{2} \right) = - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}$

Вычислим второй интеграл $S_2$:

$S_2 = \int_{-1}^{0} ((x+1) - (x+1)^3) dx = \left[ \frac{(x+1)^2}{2} - \frac{(x+1)^4}{4} \right]_{-1}^{0}$

$= \left( \frac{(0+1)^2}{2} - \frac{(0+1)^4}{4} \right) - \left( \frac{(-1+1)^2}{2} - \frac{(-1+1)^4}{4} \right)$

$= \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - (0 - 0) = \frac{1}{4}$

Общая площадь:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $S = \frac{1}{2}$.

2) Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций y = x³ и y = 2x - x³

Дано:

Фигура ограничена графиками функций $y_1 = x^3$ и $y_2 = 2x - x^3$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Сначала найдем абсциссы точек пересечения графиков функций, приравняв их:

$x^3 = 2x - x^3$

$2x^3 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x^2 - 1) = 0$

$2x(x - 1)(x + 1) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Фигура, площадь которой нужно найти, состоит из двух частей. Определим, какая функция больше на каждом из интервалов $[-1, 0]$ и $[0, 1]$.

На интервале $[-1, 0]$, возьмем пробную точку $x = -0.5$:

$y_1(-0.5) = (-0.5)^3 = -0.125$

$y_2(-0.5) = 2(-0.5) - (-0.5)^3 = -1 - (-0.125) = -0.875$

Так как $-0.125 > -0.875$, на интервале $[-1, 0]$ график $y = x^3$ лежит выше графика $y = 2x - x^3$.

На интервале $[0, 1]$, возьмем пробную точку $x = 0.5$:

$y_1(0.5) = (0.5)^3 = 0.125$

$y_2(0.5) = 2(0.5) - (0.5)^3 = 1 - 0.125 = 0.875$

Так как $0.875 > 0.125$, на интервале $[0, 1]$ график $y = 2x - x^3$ лежит выше графика $y = x^3$.

Площадь $S$ вычисляется как сумма интегралов:

$S = \int_{-1}^{0} (x^3 - (2x - x^3)) dx + \int_{0}^{1} ((2x - x^3) - x^3) dx$

$S = \int_{-1}^{0} (2x^3 - 2x) dx + \int_{0}^{1} (2x - 2x^3) dx$

Вычислим первый интеграл $S_1$:

$S_1 = \int_{-1}^{0} (2x^3 - 2x) dx = \left[ 2\frac{x^4}{4} - 2\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = \left[ \frac{x^4}{2} - x^2 \right]_{-1}^{0}$

$= \left( \frac{0^4}{2} - 0^2 \right) - \left( \frac{(-1)^4}{2} - (-1)^2 \right) = 0 - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$

Вычислим второй интеграл $S_2$:

$S_2 = \int_{0}^{1} (2x - 2x^3) dx = \left[ 2\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left[ x^2 - \frac{x^4}{2} \right]_{0}^{1}$

$= \left( 1^2 - \frac{1^4}{2} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^4}{2} \right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Общая площадь:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Ответ: $S = 1$.