Номер 61, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

61.1) $y = (x+1)^2, y = 1;$

2) $y = x^3, y = x, x = 0, x = 1.$

3) $y = x^2 + 1, y = 5;$

4) $y = 3 - x^2, y = 2;$

5) $y = -x^2 + 4, y = 0;$

6) $y = x^3 + 1, y = 1, x = 1.$

1) $y=(x+1)^2, y=1$

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, сначала найдем точки их пересечения, которые будут пределами интегрирования. Приравняем уравнения:

$(x+1)^2 = 1$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$x+1 = 1$ или $x+1 = -1$

Отсюда находим $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, интегрирование будет производиться в пределах от -2 до 0.На интервале $[-2, 0]$ необходимо определить, какая из функций принимает большие значения. Возьмем тестовую точку, например, $x = -1$:

Для $y=(x+1)^2$: $y = (-1+1)^2 = 0$.

Для $y=1$: значение функции равно 1.

Поскольку $1 > 0$, прямая $y=1$ лежит выше параболы $y=(x+1)^2$ на всем интервале $[-2, 0]$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-2}^{0} (1 - (x+1)^2) dx = \int_{-2}^{0} (1 - (x^2 + 2x + 1)) dx = \int_{-2}^{0} (-x^2 - 2x) dx$

Вычисляем определенный интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-2}^{0} = \left(-\frac{0^3}{3} - 0^2\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2\right) = 0 - \left(-\frac{-8}{3} - 4\right) = -\left(\frac{8}{3} - 4\right) = -\left(\frac{8 - 12}{3}\right) = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}$

Ответ: $S = \frac{4}{3}$ кв. ед.

2) $y=x^3, y=x, x=0, x=1$

Решение:

Фигура ограничена кривой $y=x^3$, прямой $y=x$ и вертикальными линиями $x=0$ и $x=1$. Пределы интегрирования заданы: от 0 до 1.

На интервале $[0, 1]$ определим, какая функция больше. Возьмем тестовую точку, например, $x=0.5$:

Для $y=x^3$: $y = (0.5)^3 = 0.125$.

Для $y=x$: $y = 0.5$.

Поскольку $0.5 > 0.125$, прямая $y=x$ лежит выше кривой $y=x^3$ на интервале $[0, 1]$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{1} (x - x^3) dx$

Вычисляем определенный интеграл:

$S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^2}{2} - \frac{1^4}{4}\right) - \left(\frac{0^2}{2} - \frac{0^4}{4}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $S = \frac{1}{4}$ кв. ед.

3) $y=x^2+1, y=5$

Решение:

Найдем точки пересечения, приравняв уравнения:

$x^2+1 = 5$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$.

Пределы интегрирования: от -2 до 2. На интервале $[-2, 2]$ прямая $y=5$ находится выше параболы $y=x^2+1$, так как, например, при $x=0$, $5 > 1$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-2}^{2} (5 - (x^2+1)) dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$

Поскольку подынтегральная функция $4 - x^2$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( (4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - 0 \right) = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24 - 8}{3} \right) = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $S = \frac{32}{3}$ кв. ед.

4) $y=3-x^2, y=2$

Решение:

Найдем точки пересечения:

$3-x^2 = 2$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$.

Пределы интегрирования: от -1 до 1. На интервале $[-1, 1]$ парабола $y=3-x^2$ находится выше прямой $y=2$, так как, например, при $x=0$, $3 > 2$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-1}^{1} ((3-x^2) - 2) dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx$

Используем свойство четной функции:

$S = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx = 2 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( (1 - \frac{1}{3}) - 0 \right) = 2 \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3}$

Ответ: $S = \frac{4}{3}$ кв. ед.

5) $y=-x^2+4, y=0$

Решение:

Фигура ограничена параболой $y=-x^2+4$ и осью абсцисс ($y=0$).

Найдем точки пересечения:

$-x^2+4 = 0$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$.

Пределы интегрирования: от -2 до 2. На этом интервале парабола находится выше оси $x$ (например, при $x=0$, $y=4>0$).

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-2}^{2} (-x^2+4 - 0) dx = \int_{-2}^{2} (4-x^2) dx$

Этот интеграл совпадает с интегралом из задачи 3). Поэтому:

$S = \frac{32}{3}$

Ответ: $S = \frac{32}{3}$ кв. ед.

6) $y=x^3+1, y=1, x=1$

Решение:

Фигура ограничена кривой $y=x^3+1$, горизонтальной прямой $y=1$ и вертикальной прямой $x=1$.

Найдем точку пересечения кривой $y=x^3+1$ и прямой $y=1$:

$x^3+1 = 1$

$x^3 = 0 \implies x=0$.

Таким образом, фигура ограничена слева прямой $x=0$, справа прямой $x=1$, снизу прямой $y=1$ и сверху кривой $y=x^3+1$.

На интервале $[0, 1]$ кривая $y=x^3+1$ находится выше прямой $y=1$. Например, при $x=0.5$, $y=(0.5)^3+1=1.125 > 1$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{1} ((x^3+1) - 1) dx = \int_{0}^{1} x^3 dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $S = \frac{1}{4}$ кв. ед.